Уравнение шредингера (конкретные ситуации)

Для одномерного стационарного случая вероятность обнаружить частицу на оси в интервале от до равна ( вероятность обнаружить частицу в интервале

где – плотность вероятности, квадрат модуля волновой функции частицы. Если частица движется в ограниченном пространстве от 0 до , то вероятность обнаружить частицу в интервале от равна

Потенциальная яма (ящик) длиной с бесконечно высокими стенками

Ч

астица с энергией и массой находится в бесконечно глубокой потенциальной яме с

Р

ешение уравнения Шредингера для этой частицы имеют вид (энергия, импульс, волновая функция)

У графика от ровно максимумов.

Рассчитаем

для уровня бесконечно глубокой потенциальной ямы.

Пример. Частица находится в бесконечно глубокой потенциальной яме в состоянии с квантовым числом Найти вероятность обнаружить частицу в

По определению

Исходя из симметрии графика от можно определить вероятность нахождения частицы в интервале от до без вычисления интеграла, который представляет собой площадь под кривой от до . Так, как площадь под всей кривой от до равна 1, то площадь под кривой от до очевидно равна .

Потенциальный барьер (туннельный эффект)

Ч астицы с энергией Е, массой , движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер «высоты»  и ширины . – вероятность прохождения барьера.

Классическая частица:

, ; , .

Квантовая частица:

, ; , .

_При классическая частица не проходит барьер («отражается»), т. е. , при проходит свободно с вероятностью .

_При квантовая частица имеет ненулевую вероятность прохождения энергетического барьера (туннельный эффект), при проходит, но не свободно с вероятностью , т. е. имеется ненулевая вероятность «отражения» от барьера.

Для случая для квантовой частицы определяем коэффициент прозрачности (вероятность прохождения )

где постоянный коэффициент, близкий к единице, но меньше ее.

, если

, если

Тесты с решениями

1. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с квантовым числом n = 3. Если -функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, т о вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение

Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Выбираем график зависимости от для n = 3. Это третий график с тремя максимумами.

1 2 3 4

Так как площадь под кривой равна 1, а интервалу от  до   соответствует площади, то вероятность обнаружить электрон равна

Примечание. на одном графике соответствует на другом.

2. Электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в состоянии с квантовым числом n = 4. Если -функция электрона в этом состоянии имеет вид, указанный на рисунке, то вероятность обнаружить электрон в интервале от   до   равна …

Решение

Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . По зависимости строим зависимость  от х и ищем площадь под этой кривой от   до   с учетом того, что площадь под кривой от 0 до равна 1. Из симметрии кривой очевидно, что искомая площадь равна  

3

. На рисунках схематически представлены графики распределения плотности вероятности по ширине одномерного потенциального ящика с бесконечно высокими стенками для состояний электрона с различными значениями главного квантового числа n

1 2 3 4

В состоянии с n = 2 вероятность обнаружить электрон в интервале от  до  равна …

Решение

Вероятность обнаружить микрочастицу в интервале (a, b) для состояния, характеризуемого определенной -функцией, равна . Выбираем график зависимости от для n = 2. Это второй график с двумя максимумами. Ищем площадь под этой кривой от   до    с учетом того, что площадь под кривой от 0 до равна 1. Из симметрии кривой 2 очевидно, что искомая площадь равна  

4. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера увеличивается с …

уменьшением массы частицы,

увеличением ширины барьера,

уменьшением энергии частицы,

увеличением высоты барьера.

Решение

Вероятность прохождения частицей потенциального барьера или коэффициент прозрачности определяется формулой

 где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения увеличивается с уменьшением массы частицы.

5. В результате туннельного эффекта вероятность прохождения частицей потенциального барьера уменьшается с …

увеличением ширины барьера,

уменьшением массы частицы,

увеличением энергии частицы,

уменьшением высоты барьера.

Решение

Вероятность прохождения частицей потенциального барьера или коэффициент прозрачности определяется формулой

 где постоянный коэффициент, близкий к единице, ширина барьера, масса частицы, высота барьера, энергия частицы. Следовательно, вероятность прохождения уменьшается с увеличением ширины барьера.

6. Квантовая и классическая частицы с энергией Е, движущиеся слева направо, встречают на своем пути потенциальный барьер высоты  и ширины l. Если  P − вероятность преодоления барьера, то для …

квантовой частицы при   а при

классической частицы при  , а при

квантовой частицы при   , а при P = 1,

квантовой частицы  зависит только от  и не зависит от l. 7. Квадрат модуля волновой функции, входящий в уравнение Шредингера, равен

импульсу частицы в соответствующем месте пространства,

плотности вероятности обнаружения частицы в соответствующем месте пространства,

энергии частицы в соответствующем месте пространства.

8. На рисунке приведены картины распределения плотности вероятности нахождения микрочастицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Состоянии с квантовым числом соответствует……..

Решение

Число равно числу максимумов, т. е. второй рисунок.

36