Вопрос 2. Ошибка выборки

Ошибка выборки – это объективно возникающие расхождения между характеристиками выборки и генеральной совокупности

В математической статистике доказывается, что среднее значение ошибки выборки определяется по формуле:

где - генеральная дисперсия; n – объем выборки.

Однако обычно неизвестно, наоборот, его как правило надо определить.

Поэтому используют соотношение

, где - дисперсия в выборочной совокупности.

Если n – велико, то стремится к 1.

Тогда (1)

где ² - дисперсия в выборочной совокупности; n - объём выборки.

Формула (1) используется при повторном отборе.

При этом для показателя доли альтернативного признака w дисперсия в выборочной совокупности определяется по формуле:

, где w=m/n

m – доля единиц с изучаемым признаком; n – объем выборки.

Для бесповторного отбора: (2)

где N - численность генеральной совокупности.

Повторный отбор – каждая попавшая в выборку единица после фиксации значения изучаемого признака, должна быть возвращена в генеральную совокупность, где ей опять предоставляется равная возможность попасть в выборку. (Используется редко)

Возможные значения, в пределах которых может находиться доля единиц, обладающих изучаемым признаком, в генеральной совокупности определяется по формуле: . (3)

Для средних значений в генеральной совокупности установлены следующие границы: (4)

Формулы (3) и (4) гарантированы не с абсолютной достоверностью, а лишь с определённой степенью вероятности.

В математической статистике доказывается, что пределы значений характеристик генеральной совокупности (Р и ) отличаются от характеристик выборочной совокупности ( и ) на величину лишь с определенной вероятностью = 0,683. Т.е. в 317 случаях из 1000 значения могут выйти из этих пределов.

Эту вероятность можно увеличить, увеличив в t раз среднюю ошибку .

Здесь t - коэффициент доверия.

При t =2 доверительная вероятность = 0,954

При t =3 доверительная вероятность = 0,997 (т.е. выход в 3-х случаях из 1000)

Величина коэффициента доверия t зависит о доверительной вероятности и определяется по специальным таблицам, исчисленным применительно к случаю нормально распределенной совокупности (таблицы интегральной функции Лапласа).

Тогда:

При изучении доли альтернативного признака показатели соотносятся следующим образом: , (5)

При изучении средней величины: . (6)

Ошибки репрезентативности выборочного наблюдения это разновидность случайных ошибок. Они появляются как результат неполноты наблюдения. Если провести несколько выборочных наблюдений по одной совокупности, то полученные расхождения между показателями выборочной и генеральной совокупностей (т.е. ошибки выборки) будут различны как по знаку, так и по величине. Вот почему с помощью теорем математической статистики определяется средняя из возможных ошибок.

Смысл средней ошибки выборки: средняя ошибка выборки, по существу, это средняя квадратическая величина из отдельных ошибок, взвешенная по вероятности их возникновения.

Предельная ошибка выборки  находится следующим образом:

 = t  . (7)

t- зависит от вероятности, с которой гарантируется величина предельной ошибки выборки.

Расчёт  при бесповторном отборе может быть записан следующими алгоритмами:

- доля альтернативного признака (8)

- средняя величина количественного признака (9)

Если процент единиц, взятых в выборку небольшой (до 5 %) то и расчёт производится по формулам повторного отбора:

, (10)

. (11)

Однако в этом случае мы несколько преувеличиваем результаты выборки (т.е. немного повышается средняя ошибка выборки).