5.6 Анализ устойчивости системы по лчх

известно, что ЛЧХ L(ω) и Ө(ω) однозначно связаны с АФХ W(jω):

L(ω) = 20lq| W(јω)|; Ө(ω) = arq W(јω)

Отсюда следует, что формулировки критерия Найквиста применительно к ЛЧХ L(ω), Ө(ω) можно получить из сопоставления АФХ W(јω) с соответствующими ей ЛЧХ L(ω) и Ө(ω).

На рис. 5.12 и 5.13 приведены АФХ и соответствующие им ЛЧХ для системы устойчивой (l = 0) (рис. 5.12) и неустойчивой (l = 1) (рис. 5.13) в разомкнутом состоянии.

При оценке устойчивости нас интересует число переходов АФХ через отрезок [-∞; -1]. Чем он характерен?

1. На этом отрезке Н(ω) > 1, следовательно,

L(ω) = 20lqН(ω) > 0

2. Значение фазовой характеристики Ө(ω) на этом отрезке равно -180⁰.

Таким образом, переходам АФХ W(јω) через отрезок [-∞; -1] соответствуют переходы ЛФХ Ө(ω) через прямую -180⁰ в области частот, где ЛАХ L(ω) > 0. при этом дополнению АФХ астатических систем дугой бесконечно большого радиуса соответствует дополнение ЛФХ Ө(ω) при ω→0 монотонным участком, приводящим ЛФХ к прямой 0⁰ (при l – четным) или -180⁰ (при l – нечетном) (см. рис. 5.14).

Формулировка критерия.

Для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы в области частот, где ЛАХ положительна, разность между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ через прямую -180⁰ была равна l/2, где l – число правых корней характеристического уравнения разомкнутой САУ.

Исходя из формулировки критерия, при оценке устойчивости замкнутой САУ по ЛЧХ необходимо:

1. Получить передаточную функцию разомкнутой САУ.

2. Определить, устойчива ли разомкнутая САУ и выяснить количество правых корней l и D(р) = 0.

3. Построить ЛЧХ L(ω) и Ө(ω).

4. Выделить интервалы частот, где ЛАХ положительны, т.е. L(ω) > 0.

5. Подсчитать разность ∆ между числом положительных и отрицательных переходов ЛФХ через прямую -180⁰ в выделенном интервале частот.

6. Сравнить значения ∆ и l/2.

7. Сделать заключение об устойчивости САУ в замкнутом состоянии.

Применяя данную методику к ЛЧХ, изображенным на рис. 5.12, 5.13, 5.14 можно сделать вывод, что данные САУ устойчивы в замкнутом состоянии.

Для систем, устойчивых в разомкнутом состоянии (l = 0), иногда удобнее пользоваться следующей формулировкой:

Для устойчивости замкнутой САУ, устойчивой в разомкнутой состоянии, необходимо и достаточно, чтобы в области частот, где ЛАХ положительна, ЛФХ не опускалось ниже прямой -180⁰.

Пример.

Предположим, что система с передаточной функцией

при К = К₁ и К = К₂

Рисунок 5.12

рисунок 5.13

Рисунок 5.14

Рисунок 5.15

имеет ЛЧХ, изображенное на рис. 5.15. применение последней формулировки позволяет установить, что при К = К₁ замкнутая САУ будет устойчива, при К = К₂ – неустойчива. Аналогичные результаты могут быть получены и на основе общей формулировки.