6.2 Анализ точности систем в установившемся режиме

при типовых воздействиях

6.2.1 Вывод общих расчетных формул

для определения установившихся ошибок

рассмотрим этот вопрос применительно к САУ, на входах которой действует задающее Х(t) и возмущающее f(t) воздействия (рис. 6.3), а качестве выходной величины выступает ошибка ε(t).

Согласно теореме о конечном значении, можно записать

(6.1)

г

F(р)

де ε_у – установившаяся ошибка системы; ε(р) – изображение по Лапласу ошибки ε(t).

САУ

Х(р)

ε(р)

рисунок 6.3

ранее было показано (см. лекцию 4), что при одновременном действии на систему (рис. 6.3) задающего Х(р) и возмущающего f(р) воздействий изображение ошибки ε(р) определяется выражением

Подставляя его в (6.1) получим общую расчетную формулу

(6.2)

Из этой формулы следует, что ошибка САУ в установившемся режиме зависит от структуры системы и характера внешних воздействий и имеет две составляющие:

; (6.3)

(6.4)

Составляющая является ошибкой воспроизведения задающего воздействия Х(t) при f(t) = 0. эту ошибку принято называть ошибкой по задающему воздействию. Составляющая обусловлена действием возмущения f(t) при Х(t) = 0 и называется ошибкой по возмущающему воздействию.

6.2.2 Вывод расчетных формул для установившихся

ошибок САУ с единичной ООС

с

F(p)

труктурно-динамическая схема САУ с единичной ООС показана на рис. 6.4.

Рисунок 6.4

В общем случае передаточные функции W_I(р), W_II(р), W(р) = W_I(р)W_II(р) и W_f(р) можно представить в виде:

;

,

где К_I – коэффициент передачи управляющего устройства, а в более общем случае – коэффициент передачи участка цепи между входом системы и точкой приложения возмущения; К_II – коэффициент передачи объекта управления, а в более общем случае – коэффициент передачи участка цепи между точкой приложения возмущения и выходом системы; К_f – коэффициент передачи звена, через которое возмущение поступает на сумматор; К = К_IК_II – коэффициент передачи разомкнутой системы; ν_I, ν_II, ν = ν_I + ν_II – количество интегрирующих звеньев в W_I(р), W_II(р), W(р). В передаточной функции W_f(р), как правило, интегрирующих звеньев нет.

В соответствии с СДС (рис. 6.4) определим передаточные функции Ф_ε(р), (р):

(6.5)

Подставим (6.5) в формулы (6.3) и (6.4), получим

(6.6)

(6.7)

Учитывая, что

выражения (6.6), (6.7) примут вид:

;

или окончательно

;

из формул (6.8) и (6.9) видно, что установившиеся ошибки и замкнутой САУ зависят как от характера внешних воздействий и величины коэффициентов К_I, К_II, К_f, так и от количества и места расположения интегрирующих звеньев в одноконтурной структурно-динамической схеме исследуемой системы.

Определим значения установившихся ошибок , замкнутой САУ с различной наиболее характерной структурой.

6.2.3 Определение установившихся ошибок

статистических систем

статистическая система характеризуется отсутствием интегрирующих звеньев в разомкнутой цепи, т.е. в статической системе ν_I = ν_II – ν = 0. в этом случае выражения (6.8) и (6.9) принимают вид:

; (6.10)

(6.11)

Определим установившиеся ошибки при различном характере входных воздействий:

а) постоянные (ступенчатые) входные воздействия, т.е.

Х(t) = Х₀1(t); f(t) = f₀1(t) или Х(р) = ; f(р) =

Подставляя Х(р) и f(р) в (6.10) и (6.11), получим:

; (6.12)

(6.13)

где S = 1/(1 + К) – коэффициент статизма системы.

Формулы (6.12) и (6.13) подтверждают тот факт, что при отсутствии в одноконтурной структурно-динамической схеме интегрирующих звеньев САУ будет статической. Из этих формул видно, что статические ошибки по задающему и возмущающему воздействиям пропорциональны величине этих воздействий и коэффициенту статизма системы, который тем меньше, чем больше коэффициент усиления К разомкнутой системы. Формула (6.13) дает основание утверждать, что статические ошибки , и = + можно уменьшить только за счет увеличения коэффициента передачи участка цепи от входа системы до точки приложения внешнего воздействия. Увеличение К₁ приводит увеличению коэффициента К разомкнутой системы и уменьшение коэффициента статизма S = 1/(1 + К). однако при этом следует помнить, что с увеличением коэффициента уменьшается запас устойчивости системы и при К > К_кр система оказывается неустойчивой;

б) скоростные входные воздействия, т.е. Х(t) = V_xt, f(t) = V_ft, или Х(р) = V_x/р², f(р) = V_f/р².

Подставляя Х(р) и f(р) в (6.10) и (6.11), получим = ∞, = ∞. Это значит, что установившиеся ошибки и статистических систем, создаваемые внешними воздействиями, изменяющимися с постоянной скоростью, со временем t → ∞ увеличивается до бесконечности. Следовательно, САУ можно проектировать статическими в том случае, если они работают в условиях постоянных внешних воздействий или внешних воздействий, близких к постоянным.