Обезразмеривание уравнений

Обезразмерим получившуюся систему уравнений

1. Рассмотрим первое уравнение системы:

Введем безразмерный параметр

Введем безразмерные параметры

2. Рассмотрим второе уравнение системы:

Введем безразмерный параметр

3. Рассмотрим четвертое уравнение системы:

Введем безразмерный параметр

Введем безразмерный параметр

4. Рассмотрим третье уравнение системы:

Получаем систему уравнений:

При подстановки параметров в систему, получим соответственно .

Численное моделирование

Для решение системы дифференциальных уравнений воспользуемся методом Эйлера.

переходят в

Метод Эйлера: , то

Для того чтобы уравнения были как-то связаны с приближаемым дифференциальным оператором нужно, чтобы уравнения удовлетворяли многочленам. Если уравнения выполняются для всех многочленов степени не выше r с точностью до , то говорят, что разностная схема имеет n-й порядок аппроксимации.

Проверим данную систему на устойчивость. Для этого сначала найдем порядок аппроксимации схемы Эйлера.

Разложим в ряд Тейлора относительно точки :

Порядок аппроксимации равен 1.

Условия аппроксимации не достаточно для того, чтобы результат разностной схемы приближался к точному ответу при →0. В случае схем, коэффициенты которых не зависят от решения дифференциального уравнения, нужно выполнение условия устойчивости. Такие схемы можно представить как некоторый линейный оператор, который преобразует значения функции в момент в значения функции в момент . Условие устойчивости требует, чтобы собственные числа этого оператора не превосходили по модулю , при →0. Если это условие не выполнено, то погрешности схемы быстро возрастают и результат тем хуже, чем меньше шаг. Если выполнены как условие аппроксимации, так и условие устойчивости, то результат разностной схемы сходится к решению дифференциального уравнения.

Введя – отклонение от истинного решения ( ) –найдем оператор перехода для нашей системы уравнений:

Найдем собственные значения данного оператора:

Разложим по 2-му столбцу и воспользуемся методом треугольника:

Получаем систему уравнений

Дискриминант в 3-м уравнении равен

Учитывая то, что собственные значения оператора G не должны превосходить по модулю 1, получаем:

Подставляя значения коэффициентов , получаем:

Итак, решение будет являться устойчивым при

Проверка решения на сходимость

Для проверки системы уравнений :

на сходимость, необходимо уменьшит интервал времени (увеличить количество шагов), то решение численное решение будет стремиться к аналитическому.

Рассмотрим случай, когда A=0.

Тогда система уравнений перейдет к новому виду:

Начальные условия: .

Для проверки сходимости решим эту систему численным методом при различных значения и сравним полученные результаты с аналитическим решением.