29. Основные теоремы о пределах функции

Теорема Lim _{x →x0} const =const.

Теорема Lim _{x →x0} с* f1(x)= c * Lim _{x →x0} f1(x) = c*A.

Теорема Lim _{x →x0} (f1(x) +\- f2(x))= Lim _{x →x0} f1(x) +\- Lim _{x →x0} f2(x)= A+\- B.

Теорема Lim _{x →x0} f1(x) * f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) * Lim _{x →x0} f2(x) =A*B

Теорема. Lim _{x →x0} f1(x) \ f2(x) = Lim _{x →x0} f1(x) \ Lim _{x →x0} f2(x) = A\B, если В не равно 0.

30. Неопределенные выражения

Определение. В результате предельного перехода в равенствах могут быть получены выражения вида (0\0), (∞/∞), (1 ^∞), (∞-∞), (0*∞).Такие выражения называются неопределёнными.

31. Первый замеч-й предел

Теорема. Lim _{x →0} sinx \ x=1.

Следствия:

1. Lim _{x →0} х \ sinx = 1.

2. Lim _{x →0} sinkx \ x = k.

3. Lim _{x →0} tgmx \ x = m.

4. Lim _{x →0} arcsin mx \ x = m.

Замечание. Первый замечательный предел применяется для раскрытия неопределенностей вида (0\0), содержащих тригонометрические функции.

Lim _{x →0} cosx \ x = ∞.

32. Число е. Второй замеч-ный предел

Теорема Все логарифмические функции пропорциональны друг другу.

Теорема. Lim _{h →0} ln(1+h) \ h =1.

Следствия:

1. Lim _{h →0} (1+h) ^1\h = e

2. Lim _{y →0} (1+ 1\y)^y= e

33.

1. Lim _{x →0} (1+kx)^1\x = e^k

2. Lim _{x →∞} (1+k\x) ^x =e^k

3. Lim _{x →0} (log_a(1+x) \ x) = log_ae

4. Lim _{x →0} (a^x -1 \ x)= ln a

5. Lim _{x →0} (e^x -1 \x) =1.

6. Lim _{x →0} ((1+x) ^α -1 \ x) = α .

34. Пределы от функции

При вычислении пределов вида полезно помнить:

1. Если где А и В – конечные чис-

ла, то

2. Если то

3. Если то

4. Если

Неопределённость вида (1¥ ) раскрывается с помощью числа е.

35. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

1.Определение Если предел отношения двух БМФ

равен постоянному числу, то БМФ имеют одинаковый порядок малости.

Если , то (x) и (x)

Назыв-тся эквивалентными бесконечно малыми функциями при

Записывают или

Свойства эквивалентных бесконечно малых величин:

Аналогично сравниваются бесконечно большие функции.

Сравнение ББФ

Таблица эквивалентных бесконечно малых величин(относится к 35 вопросу)

36. Понятие односторонних пределов.

37. Основные свойства непрерывных функций

38. Свойства функции непрерывных на отрезках

39. Определение производной функции в точке

40. Дифференциал функции. Правила дифференцирования.

41. Производная сложной функции. Производная обратной функции.

42. Таблица производных

43. Бесконечная производная, односторонние производные.

44. Производная функции, заданной неявно.

45. Производная функции, заданной параметрически.

46. Логарифмическая производная

47. Производные высших порядков

47

48 применение дифференциала в приближ-х вычисл-х

49 инвариантность формы дифференциала.

50Дифференциалы высших порядков

51,53 некоторые теоремы о дифф-мых ф-ях

52 Локальный экстремум. Теорема Ферма.

1. Геометрический смысл теоремы Ферма. Касательная, проведенная к графику дифференцируемой функции в точках экстремума параллельна оси Ох.

2. Необходимое условие позволяет находить точки, подозрительные

на экстремум (из условия f (x0) 0).

3. Теорема не обратима: если касательная,

проведенная к графику дифференцируемой функции параллельна оси Ох, то не всегда эта функцияимеет в этой точке экстремум.

4. Существуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной.Например,непрерывная функция y x в точке производ-

ной не имеет, но точка x 0 является точкой минимума.

54 Применение производной.Правило Лопиталя – Бернулли

55 исследование поведения ф-ции на лок-ный экстремум

56 выпуклость вогнутость. Т перегиба

57 ассимптоты

58 общая схема исследования ф-ции

59 глобальный экстремум ф-ции. Практич-е задачи на оптимизацию. Схема постр-я математич-й модели задачи на оптимизацию

60 формулы тейлора и маклорена

61 разложение ф-ций по формулам маклорена

62 вычисление пределов с помощью формулы тейлора(выделение главной части)