Задача №5
Условие: Имеются два вида кормов (силос и зерно), содержащих перевариваемый белок, каротин, кальций, фосфор. Содержание питательных веществ в кормах следующее:
Питательные вещества |
Силос |
Зерно |
Норма питательных веществ |
Переваримый белок |
3 |
7 |
19 |
Каротин |
7 |
3 |
21 |
Кальций |
2 |
0 |
4 |
Фосфор |
0 |
5 |
5 |
Стоимость 1 усл. ед. корма |
2 |
14 |
- |
Составить план производства кормов, при котором их стоимость была бы минимальной.
Решение задачи.
1 Этап. Построение модели.
Переменные: x1 – количество силоса;
x2 - количество зерна.
Целевая функция: f(x) = 2 x1+14 x2 → min
Ограничения:
1) по переваримому белку:
3 x1+7 x2 ≥ 19;
2) по каротину:
7 x1+ 3 x2 ≥ 21;
3) по кальцию:
2 x1 ≥ 4;
4) по фосфору:
5 x2 ≥ 5;
Условие неотрицательности:
x1 ≥0;
x2 ≥0.
\
2 Этап. Решение задачи графическим методом.
Построение прямых (рис.3):
1 прямая: 3 x1+7 x2 = 19
при x1=0, x2=19/7 (0;2,71);
при x2=0, x1=19/3 (6,33;0)
2 прямая: 7 x1+ 3 x2 = 21
при x1=0, x2=7 (0;7);
при x2=0, x1=3 (3;0)
3 прямая: 2 x1 = 4;
x1 = 2
4 прямая: 5 x2 = 5;
x2 = 1
Построение вектора-градиента, проходящего через точки (0;0) и (2;14) (рис. 3).
Ближайшим перпендикуляром к началу вектора, является перпендикуляр, проведенный из точки пересечения 1 и 4 прямой.
Решение системы уравнений:
3
x1+7
x2
= 19 3 x1+7
x2
= 19
5 x2 = 5 *7/5 7 x2 = 7
3 x1 = 12;
x1 = 4;
x2 = 1.
f (xmin) = 2*4+14*1 = 8 + 14= 22.
Ответ: Минимальная стоимость кормов составляет 22 усл. ед., при этом количество силоса приобретается 4 единицы, а зерна – 1 единица.
переменные |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
x7 |
x8 |
x9 |
значение |
знак |
ресурсы |
f(x)= |
242028 |
79094 |
523992 |
1126992 |
47495 |
26920 |
7110 |
642005 |
0 |
1,88E+08 |
--> |
max |
Ответы |
25,20988 |
45,26761 |
31,9881 |
107,1077 |
9,965217 |
15,15 |
17,44444 |
61,43871 |
262986,8 |
|
|
|
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
313,5717 |
<= |
325 |
2 |
136,4 |
108,3 |
130,4 |
165,4 |
179,8 |
69,7 |
87,2 |
79,6 |
0 |
39487,35 |
<= |
40939 |
3 |
67,8 |
19,4 |
14,1 |
25,3 |
51,3 |
16,1 |
36 |
44,2 |
0 |
9847 |
<= |
9847 |
4 |
0 |
21,6 |
80 |
96,7 |
12,9 |
6,4 |
11 |
30,9 |
0 |
16210 |
<= |
16210 |
5 |
190,3 |
870 |
661 |
1077,7 |
882 |
356 |
784 |
885 |
-1 |
5,82E-11 |
<= |
0 |
6 |
162 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4084 |
>= |
4084 |
7 |
|
142 |
|
|
|
|
|
|
|
6428 |
>= |
6428 |
8 |
|
|
84 |
|
|
|
|
|
|
2687 |
>= |
2687 |
9 |
|
|
|
159 |
|
|
|
|
|
17030,13 |
>= |
14671 |
10 |
|
|
|
|
115 |
|
|
|
|
1146 |
>= |
1146 |
11 |
|
|
|
|
|
40 |
|
|
|
606 |
>= |
606 |
12 |
|
|
|
|
|
|
45 |
|
|
785 |
>= |
785 |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
65 |
|
3993,516 |
>= |
2449 |
Microsoft Excel 12.0 Отчет по результатам |
|
|
|
|
|||
Рабочий лист: [Книга1]Лист1 |
|
|
|
|
|||
Отчет создан: 19.11.2012 16:24:43 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Целевая ячейка (Максимум) |
|
|
|
|
|||
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
|
|
|
|
$K$2 |
f(x)= значение |
0 |
187602057,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Изменяемые ячейки |
|
|
|
|
|
||
|
Ячейка |
Имя |
Исходное значение |
Результат |
|
|
|
|
$B$3 |
Ответы x1 |
0 |
25,20987654 |
|
|
|
|
$C$3 |
Ответы x2 |
0 |
45,26760563 |
|
|
|
|
$D$3 |
Ответы x3 |
0 |
31,98809524 |
|
|
|
|
$E$3 |
Ответы x4 |
0 |
107,1077128 |
|
|
|
|
$F$3 |
Ответы x5 |
0 |
9,965217391 |
|
|
|
|
$G$3 |
Ответы x6 |
0 |
15,15 |
|
|
|
|
$H$3 |
Ответы x7 |
0 |
17,44444444 |
|
|
|
|
$I$3 |
Ответы x8 |
0 |
61,43870795 |
|
|
|
|
$J$3 |
Ответы x9 |
0 |
262986,7922 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ограничения |
|
|
|
|
|
||
|
Ячейка |
Имя |
Значение |
Формула |
Статус |
Разница |
|
|
$K$4 |
значение |
313,57166 |
$K$4<=$M$4 |
не связан. |
11,42833997 |
|
|
$K$5 |
значение |
39487,34997 |
$K$5<=$M$5 |
не связан. |
1451,650033 |
|
|
$K$6 |
значение |
9847 |
$K$6<=$M$6 |
связанное |
0 |
|
|
$K$7 |
значение |
16210 |
$K$7<=$M$7 |
связанное |
0 |
|
|
$K$8 |
значение |
5,82077E-11 |
$K$8<=$M$8 |
связанное |
0 |
|
|
$K$9 |
значение |
4084 |
$K$9>=$M$9 |
связанное |
0 |
|
|
$K$10 |
значение |
6428 |
$K$10>=$M$10 |
связанное |
0 |
|
|
$K$11 |
значение |
2687 |
$K$11>=$M$11 |
связанное |
0 |
|
|
$K$12 |
значение |
17030,12634 |
$K$12>=$M$12 |
не связан. |
2359,126339 |
|
|
$K$13 |
значение |
1146 |
$K$13>=$M$13 |
связанное |
0 |
|
|
$K$14 |
значение |
606 |
$K$14>=$M$14 |
связанное |
0 |
|
|
$K$15 |
значение |
785 |
$K$15>=$M$15 |
связанное |
0 |
|
|
$K$16 |
значение |
3993,516017 |
$K$16>=$M$16 |
не связан. |
1544,516017 |
|
Список использованной литературы
Васильев С.Н,Матросов В.М., Москаленко А.И.. Нелинейная теория управления и ее приложения. М.:ФМЛ, 2008, 320 с.
Веников В. А., Веников Г.В. Теория подобия и моделирования. - М.: Высшая школа, 1984.
Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология – М.: Высшая школа, 2007.
Глухов В.В., Медников М.Д., Коробко С.Б. Математические методы и модели для менеджмента. Учебник. – СПб.: Лань, 2007.
Краснощеков П.С., Петров А.А. Принципы построения моделей. – М.: Фазис, 2007.
Пелих А.С., Терехов Л.Л.,. Терехова Л.А Экономико-математические методы и модели управления производством. – Ростов –на –Дону. Феникс. 2009
Первозванский А.А. Математические модели в управлении производством. 2007.