6. Полуаналитические методы решения краевой задачи. Метод коллокации.

Пусть необходимо определить функцию , удовлетворяющую линейному дифференциальному уравнению

(2.50)

и линейными краевыми условиями

, (2.51)

причем

Выберем некоторую совокупность линейно независимых функций

(2.52)

которую назовем системой базисных функций.

Пусть функция удовлетворяет неоднородным краевым условиям

(2.53)

а остальные функции удовлетворяют соответствующим однородным краевым условиям:

. (2.54)

Если краевые условия (2.51) однородны (A=B=0), то можно положить и рассматривать лишь систему функций .

Будем искать приближенное решение краевой задачи (2.50), (2.51) в виде линейной комбинации базисных функций

. (2.55)

Тогда функция y удовлетворяет краевым условиям (2.51). В самом деле, в силу линейности краевых условий имеем

и аналогично

Составим функцию . Подставляя сюда вместо y выражение (2.55), будем иметь

.(2.56)

Если при некотором выборе коэффициентов c_i выполнено равенство

при

то функция y является точным решением краевой задачи (2.50), (2.51). Однако подобрать так удачно функции и коэффициенты c_i в общем случае не удается. Поэтому ограничиваются тем, что требуют, чтобы функция обращалась в нуль в заданной системе точек из интервала [a, b], которые называются точками коллокации. Сама функция R называется невязкой уравнения (2.50). Очевидно, что в точках коллокации дифференциальное уравнение (2.50) будет удовлетворено точно, и невязка в этих точках равна нулю.

Итак, метод коллокации приводит к системе линейных уравнений

. (2.57)

Из системы (2.57) в случае ее совместности можно определить коэффициенты , после чего приближенное решение краевой задачи дается формулой (2.55).

7. Полуаналитические методы решения краевой задачи. Метод Галеркина.

Пусть дано дифференциальное уравнение с линейными краевыми условиями

, (2.62)

(2.63)

Будем искать приближенное решение этой краевой задачи в виде суммы

(2.64)

где – некоторая непрерывная функция, удовлетворяющая неоднородным краевым условиям (2.63), а – какая-то система линейно независимых функций, удовлетворяющих однородным краевым условиям

(2.65)

и, кроме того функции при образуют в классе функций c₂[a, b], удовлетворяющих условиям (2.65), полную систему.

Заметим, что свойство полноты понимается следующим образом.

Обозначим через G класс функций y(x), принадлежащих c₂[a, b] (то есть дважды непрерывно дифференцируемых на [a, b]) и удовлетворяющих граничным условиям (2.65). Говорят, что система функций полна в классе G, если для любого и любой функции можно указать такое n и такие параметры , что имеет место неравенство

где

Это означает, что для любой допустимой функции найдется такая функция , которая на [a, b] будет сколь угодно точно приближать функцию y(x) вместе с ее производными и .

Возвращаясь теперь к задаче (2.62), (2.63), видим, что если бы мы нашли такую функцию y(x), удовлетворяющую условиям (2.63), и чтобы было ортогонально при любых , то это означало бы, что , и задача (2.62), (2.63) была бы решена. Если же ортогональность есть только при , то в разложении по системе входят и более старшие коэффициенты, то есть

Метод Галеркина состоит в том, что решение задачи (2.62), (2.63) ищется в виде (2.64), причем требуют ортогональности к функциям полной системы для , то есть

(2.68)

где

Это дает алгебраическую систему уравнений для определения коэффициентов a_k. Найдя из нее коэффициенты, получим приближенное решение. В методе Галеркина функция должна удовлетворять краевым условиям (2.63). Поэтому можно выбрать в виде

,

и коэффициенты найти как решение системы уравнений

Таким же образом отыскиваются функции . Выберем, например, полную систему в виде многочленов последовательных степеней:

.

Коэффициенты найдем из однородных краевых условий (2.65)

(2.65^а)

при всех .

Так, для и условия (2.65^а) принимают вид:

В этой системе из двух уравнений три неизвестных: и . Одну из них можно выбрать произвольно, положив, например, . Аналогично отыскивают коэффициенты для .

Для простых условий вида то есть функции можно вычислять по правилу

Или

Отметим, что при нелинейном краевом условии вида, например, линейная комбинация (2.64) с произвольными коэффициентами a_k уже не будет удовлетворять этому краевому условию. Поэтому метод Галеркина применим только к задачам с линейными краевыми условиями, хотя допустим и нелинейный оператор L.