14. Построение разностной схемы в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона.

Пусть в прямоугольной области задано уравнение Пуассона , (3.40)

а на границе Г области D – условие Дирихле . (3.41)

Будем считать, что задача (3.40), (3.41) имеет единственное решение в области и это решение имеет непрерывные в D производные и .Возьмем прямоугольную сетку

Используя формулы (3.28) и (3.35), запишем разностную схему, аппроксимирующую задачу (3.40)–(3.41) с погрешностью порядка :

, (3.42)

где

Разностная схема (3.42) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений. Число уравнений этой системы равно .

Столько же и неизвестных: при

Доказательство устойчивости схемы (3.42) сводится к выявлению двух свойств.

1. Разностная схема ,

– произвольный элемент из , однозначно разрешима.

2. Имеет место оценка ,

где С – постоянная, не зависящая от .Здесь нормы, как и прежде, определим по правилу .

15. Метод матричной прогонки. Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле.

Перепишем разностную схему (3.42) так:

(3.55)

Пусть M>N. Введем обозначение

. (3.56)

Положим в формулах (3.55) n=1, ... , N–1 и, используя (3.56), запишем систему уравнений (3.55) в векторной форме:

(3.57)

где A – трехдиагональная матрица порядка N – 1 вида

,

,

, .

Задача (3.57) аналогична задаче, которая решалась нами методом прогонки. Ее отличие лишь в том, что она имеет векторную форму.

Приведем здесь алгоритм решения задачи (3.57), который называется матричной прогонкой.

1. По формуле полагая , вычисляем матрицы Порядок этих матриц . После этого положим вектор , а затем по формуле

, вычислим векторы

2. Положим . По формуле

вычислим последовательно искомые значения решения задачи (3.57):

.

Итерационный метод решения разностной схемы для задачи Дирихле

Выразим из схемы (3.42) значения :

(3.58)

Значения на границах известны:

(3.59)

В равенстве (3.58) значение выражается через четыре соседних значения по пятиточечному шаблону.

В итерационном методе решения полагают значения во всех внутренних точках области равным некоторым произвольным начальным значениям.

Часто полагают .

Затем с помощью формул (3.58), (3.59) вычисляют новые значения , затем и так далее, до тех пор, пока максимальное отклонение значений сеточных функций на предыдущей и текущей итерациях не станет меньше по модулю, чем некоторая заранее заданная точность . Итак, итерации прекращают, когда выполнится условие

. (3.60)

16. Разностные схемы для уравнений гиперболического типа. Решение задачи Коши Разностные схемы для уравнений гиперболического типа

Типичное и наиболее простое уравнение гиперболического типа – это волновое уравнение:

. (3.61)

В связи с этим уравнением будем рассматривать следующие задачи.

1. Задача Коши. В области найти функцию , удовлетворяющую уравнению (3.61), а на прямой y=0 – начальным условиям

. (3.62)

2. Смешанная граничная задача. В области найти функцию , которая в этой области удовлетворяет уравнению (3.61), а на границе Г области D при y=0 – начальным условиям (3.62), а при – одному из трех граничных условий:

а) условиям первого рода

; (3.63)

б) условиям второго рода

; (3.64)

в) условиям третьего рода

(3.65)