§2.Односторонние пределы

На практике иногда приходиться рассматривать функции, поведение которых в некоторых точках слева и справа от них различно, например функция на рисунке 42, слева от х=1 и справа ведет себя по разному.

Рис.42.

Обозначается такие односторонние пределы функции следующим образом:

предел функции при стремящемся к слева  ;

предел функции при стремящемся к справа .

§3. Случаи стремления к 0, .

В результате развития естествознания горизонт научного познания расширился поистине до фантастических размеров. На микроскопическом конце шкалы масштабов физика элементарных частиц вышла на уровень изучения процессов, которые происходят за время около 10^-23 с и на расстояниях 10^-15 см, на другом конце шкалы космология и астрофизика изучают процессы, происходящие за время порядка возраста Вселенной около 10¹⁸ си радиуса Вселенной 10²⁸ см недавно обнаружены астрономические объекты, свет от которых идет к нам чуть ли не 12 млрд лет. Свет от этих объектов «вышел» тогда, когда до возникновения Земли оставалось еще 7 млрд. лет. Человек получает возможность заглянуть в самое начало «творения» Вселенной.

_{Особое место в теории пределов занимают случаи, когда значения функции принимают очень малые или очень большие значения, обозначаются эти значения соответственно 0 и .}

► Функция называется бесконечно малой при ,

если , в частности, при .

► Функция называется бесконечно большой при

, если , в частности, при .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

1. Для бесконечно малых в точке функций , справедливо:

а) – бесконечно малая функция;

б) – бесконечно малая функция;

в) – бесконечно малая функция, где – ограниченная функция в окрестности точки ;

2. Если – бесконечно большая функция в точке , то – беско-

нечно малая функция, т.е. ;

3. Если в окрестности точки , то – бесконечно большая

_{функция в точке} , т.е.

Бесконечно – малые функции, эквивалентность функций при

В теории пределов применяют замены бесконечно малых функций эквивалентными функциями.

Важнейшие эквивалентности при

1. ~ ; 6. ~ ;

2. ~ ; 7. ~ ;

3. ~ ; 8. ~ ;

4. ~ ; 9. ~ ;

5. ~ ; 10. ~ , где .

Например, графики функций , , , , и в окрестности точки 0 практически не различимы (см. рис.43).

_{Этот факт используется в приближенных расчетах, при изучении теоретической мехатики.}

_Рис.43.

§4. Основные свойства пределов (теоремы о пределах)

Теоремы о пределах позволяют находить пределы в тех случаях, когда функции представляют собой результат арифметических действий над другими функциями, пределы которых существуют и заранее известны.

Теоремы о пределах (свойства).

Если существуют конечные пределы , то:

1. , где С-константа;

2. ;

3. ;

4. ;

5. где ;

6. , где −непрерывная функция в точке А;

7. .

Если А и В являются нулями или бесконечностями, то существуют

следующие виды неопределенностей: , , , , , , .