§7.Непрерывность функции

► Функция называется непрерывной в точке ,если в

окрестности этой точки предел функции существует и равен

значению функции в этой точке:

.

Введем некоторые обозначения математического анализа:

Если дана функция , то разность - приращение аргумента, соответственно - приращение функции.

► Функция называется непрерывной в точке х₀, если в этой

точке бесконечно малому приращению аргумента соответствует

бесконечно малое приращение функции :

.

► Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, но

не является непрерывной в самой точке х₀, то она называется

разрывной функцией, а точка х₀ – точкой разрыва.

Точки разрыва и их классификация

Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней.

Из определений выше следует, что для непрерывности функции в точке х₀ , необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1. Функция должна быть определена в точке и ее окрестности;

2. Должны существовать конечные односторонние пределы:

, ;

3. Односторонние пределы должны быть равны ;

4. Односторонние пределы должны быть равны значению функции в точке х₀:

;

Если хотя бы одно из условий не выполняется, то функция в точке х₀ имеет разрыв:

1-го рода, когда односторонние пределы существуют и имеют разные значения , пример такой функций см. на рис.45;

2-го рода, когда хотя бы один односторонний предел равен .

Рис.45.

Пример 11. Функция f(x) = (см. рис.46) имеет в точке х₀ = 0 точку разрыва

2 – го рода, т.к. .

Рис.46.

Пример 12. Функция Дирихле (Дирихле Петер Густав(1805-1859) – немецкий математик, член- корреспондент Петербургской АН 1837г)

не является непрерывной в любой точке х₀.

Пример 13. Исследовать на непрерывность функцию

и определить тип точек разрыва, если они есть.

Решение: Найдем односторонние пределы в точках разрыва

в точке х = 0 функция непрерывна в точке х = 1 точка разрыва 1 – го рода, на рисунке 47изображен график данной функции.

Рис.47.