Критерий Байеса

Если на основе данных статистических наблюдений можно определить вероятности состояний “природы” q_j ( ), то пользуются критерием Байеса. Согласно этому критерию оптимальной считается та чистая стратегия А_i, которая соответствует максимальному среднему значению (математическому ожиданию) выигрыша:

.

Аналогично можно выбрать стратегию, которая обеспечивает минимальное среднее значение риска:

.

Критерий Лапласа

Если игроку А представляются в равной мере правдоподобными все состояния П_j природы, то полагают q₁ = …= q_n = 1/n и, учитывая “принцип недостаточного основания” Лапласа, оптимальной считают чистую стратегию А_i, обеспечивающую максимальный средний выигрыш:

.

Если вероятности q_j состояний природы совсем неизвестны и нельзя сделать о них никаких предположений, то пользуются критериями Вальда, Сэвиджа и Гурвица.

Максиминный критерий Вальда

Согласно критерию Вальда, оптимальной считается та стратегия игрока А, которая гарантирует в наихудших условиях максимальный выигрыш:

.

Критерий Вальда выражает позицию крайнего пессимизма, и принимаемое решение носит заведомо перестраховочный характер.

Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)

Выбирается та стратегия, которая в наихудших условиях дает наименьший риск:

.

Критерий минимаксного риска Сэвиджа также является критерием крайнего пессимизма.

Критерий обобщенного максимума Гурвица

Оптимальной по критерию Гурвица считается чистая стратегия А_i, найденная из условия:

,

где  – коэффициент пессимизма, принимающий значения 0   1.

При  = 1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда (критерий “крайнего пессимизма”), а при  = 0 – в критерий “крайнего оптимизма”, когда рекомендуется выбирать стратегию, обеспечивающую самый большой выигрыш. В связи с этим критерий Гурвица называют критерием “пессимизма-оптимизма”.

Величина  выбирается из опыта и здравого смысла. Чем ответственнее ситуация, чем больше стремление подстраховаться в ней и не рисковать без должных оснований, тем ближе к единице выбирается коэффициент пессимизма.

2.2. Пример решения задачи

Туристическая фирма “Топ-Тур” реализует туристические путевки. Объем реализации путевок изменяется в зависимости от потребительского спроса в пределах от 6 до 9 ед. Если путевок меньше, чем требует спрос на них, то фирма может заказать недостающее количество. При этом возникнут дополнительные расходы в размере 5 усл. ед. за каждую новую путевку. А если количество путевок превышает спрос, то потери за невостребованную путевку составят 6 усл. ед. Прибыль от реализации одной путевки составляет 10 усл. ед.

Требуется определить, какое количество путевок выгоднее брать на реализацию.

Порядок выполнения работы

В данном примере первым игроком является руководство туристической фирмы, которое может принять одно из решений:

а) А1 – заказать 6 путевок;

б) А2 – заказать 7 путевок;

в) А3 – заказать 8 путевок;

г) А4 – заказать 9 путевок.

Потребительский спрос выступает в качестве второго игрока, “природы”, стратегии которой определяются данными спроса, т. е.:

а) стратегия П1 – “купят 6 путевок”;

б) стратегия П2 – “купят 7 путевок”;

в) стратегия П3 – “купят 8 путевок”;

г) стратегия П4 – “купят 9 путевок”.

Построим платежную матрицу игры (рис. 1.8).

	П1 = 6	П2 = 7	П3 = 8	П4 = 9
А1 = 6	60	65	70	75
А2 = 7	54	70	75	80
А3 = 8	48	64	80	85
А4 = 9	42	58	74	90

Рис. 1.8. Платежная матрица

Рассчитаем элементы а_ij платежной матрицы игры.

Выигрыш игрока А (руководства фирмы), если он заказал 6 путевок (А1 = 6), а спрос оказался равным также 6 (П1 = 6) будет равен:

а₁₁ = 6  10 = 60 усл. ед.,

где 6  10 – прибыль от реализации шести путевок.

Выигрыш игрока А, когда заказано А1 = 6 путевок, а спрос П2 = 7 путевок:

а₁₂ = 7  10 – 1  5 = 70 – 5 = 65 усл. ед.,

где 7  10 – прибыль от реализации семи путевок; 1  5 – затраты, связанные с заказом дополнительной путевки.

Аналогично рассчитаем элемент а₁₃, когда заказано А1 = 6 путевок, а спрос составил П3=8 путевок :

а₁₃ = 8  10 – 2  5 = 80 – 10 = 70 усл. ед.,

где 8  10 – прибыль от реализации восьми путевок; 2  5 – затраты, связанные с заказом двух дополнительных путевок.

Когда заказано А1 = 6 путевок, а спрос П4 = 9 путевок, выигрыш игрока А:

а₁₄ = 9  10 – 3  5 = 90 – 15 = 75 усл. ед.

Рассчитаем элемент а₂₁, когда заказано А2 = 7 путевок, а спрос составил П1 = 6 путевок:

а₂₁ = 6  10 – 1  6 = 60 – 6 = 54 усл. ед,

где 6  10 – прибыль от реализации шести путевок; 1  6 – потери за одну невостребованную путевку.

Остальные элементы платежной матрицы вычисляются аналогично:

а₂₂ = 7  10 = 70 усл. ед.;

а₂₃ = 8  10 – 1  5 = 80 – 5 = 75 усл. ед.;

а₂₄ = 9  10 – 2  5 = 90 – 10 = 80 усл. ед.;

а₃₁ =6  10 – 2  6 = 60 – 12 = 48 усл. ед.;

а₃₂ =7  10 – 1  6 = 70 – 6 = 64 усл. ед.;

а₃₃ = 8  10 = 80 усл. ед.;

а₃₄ = 9  10 – 1  5 = 90 – 5 = 85 усл. ед.;

а₄₁ =6  10 – 3  6 = 60 – 18 = 42 усл. ед.;

а₄₂ =7  10 – 2  6 = 70 – 12 = 58 усл. ед.;

а₄₃ = 8  10 – 1  6 = 80 – 6 = 74 усл. ед.; а₄₄ =9  10 = 90 усл. ед.

Так как вероятности состояния спроса заранее нам не известны, использовать критерии Байеса и Лапласа невозможно. Найдем решение игры по критериям Вальда, Сэвиджа и Гурвица ( = 0,7).