9. Инварианты тензора.

Инвариантами тензора называют такие функции его компонентов, которые не меняют своих значений при повороте координатных осей. Известно, что тензор второго ранга имеет три независимых инварианта.

Инвариантами тензора являются его собственные числа (собственные или главные значения) и любые, составленные из них комбинации. Поскольку собственные числа являются корнями характеристического уравнения (13), то коэффициенты этого уравнения J1, J2, J3, определяемые через компоненты тензора выражениями (14), являются инвариантами: при повороте координатных осей меняются в соответствии с (9) компоненты тензора, но не меняются их комбинации, выражаемые уравнениями (14). Коэффициенты характеристического уравнения J1, J2, J3 принято называть первым, вторым и третьим главными инвариантами тензора.

12. Скалярные произведения.

Скалярное произведение двух векторов

ab=abCos(ab) (16)

может быть вычислено как скалярное произведение их матриц

ab =ab =(a)^T (b) (16a)

или как сумма произведений их одноименных компонентов

ab =ab = a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z = a_ib_i (_i) (16b)

Для тензоров второго ранга операция скалярного произведения определена аналогично (16а) правилом скалярного произведения их матриц, первая из которых транспонируется. Ее результатом является не скаляр, как должно было бы следовать из названия операции, а новый тензор:

C = A B; (C)=(A)^T (B)=(A)^T(B), (17а)

или, что то же самое:

C_ij = A_ikB_kj (17b).

Операция, выполняемая аналогично (16b) по правилу суммирования произведений соответствующих друг другу компонентов матриц называется двойным скалярным произведением или сверткой тензоров:

AB = (18)

Ее результатом является скаляр. Прямая проверка позволяет убедится, что свертка тензоров равна первому инварианту (т.е. сумме диагональных элементов) скалярного произведения этих тензоров:

AB =J1(AB) =J1((A) (B)) (18a)

Легко проверяется, что результат любой из этих операций инвариантен к повороту координатных осей.

10.Вырожденные и невырожденные тензоры.

Тензор  называется невырожденным, если определитель его матрицы отличен от нуля:

Для невырожденного тензора существует обратный тензор ^ с обратной матрицей ^.

Определитель _ij в соответствии с (14) равен третьему инварианту J3_. Следовательно, тензор невырожденный, если его третий инвариант не равен нулю.

Третий инвариант равен произведению собственных чисел тензора. Он равен нулю только тогда, когда хотя бы одно собственное число равно нулю. Следовательно, тензор невырожденный, если все его собственные числа отличны от нуля.

Тензор Т^* называется сопряженным с тензором Т, если их матрицы связаны операцией транспонирования:

(Т^*) = (Т) или Т^*_ij =T_ji.

Умножение тензора на сопряженный приводит к симметричному тензору с неотрицательными собственными значениями, а для невырожденного тензора – с положительными собственными значениями. Тензор с положительными собственными значениями называют положительно определенным.

Любой невырожденный тензор может быть представлен в виде произведения положительно определенного тензора на ортогональный:

T =   Q,

где T – произвольный невырожденный тензор,

Q – ортогональный тензор,

 = – положительно определенный.