11. О матрице поворота.
Произвольный поворот одной системы относительно другой описывается всего тремя независимыми величинами, например, тремя эйлеровыми углами. Матрица [L] содержит 9 направляющих косинусов. Следовательно их связывает по крайней мере 6 соотношений. На самом деле таких соотношений можно составить значительно больше. Здесь приводится 13, разумеется они взаимозависимы:
- сумма квадратов направляющих косинусов каждой (для i=1,2,3) новой оси равна единице (3 уравнения):
, i=1..3 (19)
- сумма квадратов направляющих косинусов каждой старой оси в новой координатной системе равна единице(3 уравнения):
, j=1..3 (20)
- условия ортогональности новых координатных осей (3 уравнения):
или 
(21)
- условия ортогональности старых координатных осей (3 уравнения):
или
(22)
- условие неизменности объема при преобразовании вращения (1 уравнение):
(23)
Собственные векторы тензора или матрицы ортогональны, поэтому, если их расположить в виде матрицы 3х3, то ее элементы будут удовлетворять этим соотношениям.
Матрица [L] может быть представлена в виде произведения трех матриц:
(24)
где - эйлеровы углы, однозначно определяющие вращение.