1 . Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Дано: a II b; c ∩ a = {M}.

Доказать: c ∩ b.

Доказательство:

Если бы прямая с не пересекала прямую b, то через точку М проходили бы две прямые (прямые а и с), параллельные прямой b. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая с пересекает прямую b.

2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Дано: a II с; b II c.

Доказать: a II b.

Доказательство:

Допустим, что a ∩ b = {M}. Тогда через точку М проходили бы две прямые (прямые а и b), параллельные прямой c. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, прямая a параллельна прямой b.

2. Какие прямые называются взаимно перпендикулярными? Что называется перпендикуляром к данной прямой? Построить прямую, перпендикулярную данной прямой и проходящую через точку, лежащую на этой прямой (не лежащую на данной прямой).

Определение. Прямые называются взаимно перпендикулярными, если при их пересечении образуются четыре прямых угла.

Перпендикулярными также считаются лучи и отрезки, лежащие на перпендикулярных прямых.

П ерпендикулярность прямых a и b обозначается так: Угол между этими прямыми равен 90°, следовательно, если то

Рассмотрим прямую n и точку А, не лежащую на ней. Отрезок АВ называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой n, если прямые АВ и n взаимно перпендикулярны. Точка В называется основанием перпендикуляра.

Теорема 1. Через всякую точку прямой можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой, и притом только одну.

Д ано: АВ – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ОВ в заданную полуплоскость можно отложить согласно аксиоме откладывания углов. Докажем, что ОР – единственная прямая, перпендикулярная АВ.

2) Допустим, что существует луч ОС, причем и ОС лежит в одной полуплоскости с лучом ОР.

3) Тогда Но от данной полупрямой в данную полуплоскость согласно аксиоме откладывания углов можно отложить только один угол заданной градусной меры. Следовательно, луч ОР совпадает с лучом ОС, что и требовалось доказать.

Теорема 2. Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к данной прямой, и притом только один.

Дано: ВС – прямая,

Доказать:

1) существование перпендикуляра АС;

2) единственность перпендикуляра.

Доказательство:

1) От луча ВС в разные полуплоскости отложим угол АВС и равный ему угол Р₁ВС.

2) Перегнем плоскость по прямой ВС, так что точка А наложится на некоторую точку А₁ луча ВР₁. Проведем прямую АА₁, пересекающую ВС в точке О.

3) При перегибании плоскости АОВ совмещается с А₁ОВ  АОВ = А₁ОВ.

АОВ + А₁ОВ = 180 (смежные)  АОВ = А₁ОВ =90. АА₁  ВС.

Построение перпендикулярной прямой, проходящей через данную точку.

С лучай 1. Данная точка лежит на прямой.

Пусть дана прямая а и точка А, лежащая на ней.

1) Из точки А произвольным радиусом проводим окружность, пересекающую прямую а в точках В и С.

2) Из точек В и С проводим окружности радиусом ВС до пересечения в точке Т.

Прямая ТА – искомый перпендикуляр.

Рассмотрим ВСТ – равнобедренный по построению (ВТ = СТ). ТА –медиана по построению (АВ = АС)  АТ – высота  АТ  ВС.

Случай 2. Данная точка не лежит на прямой.

Пусть дана прямая а и точка А, не лежащая на ней.

1) Из точки А произвольным радиусом проводим окружность, пересекающую прямую а в точках В и С.

2) Из точек В и С проводим окружности радиусом ВС до пересечения в точке М.

Прямая МА – искомый перпендикуляр.

Рассмотрим АВС и ВМС.

АВ = ВМ – по построению;

АС = МС – по построению;

ВС – общая.

АВС = ВМС (по третьему признаку).

 АВС = МВС

 ВС – биссектриса равнобедренного треугольника АВМ

 ВС – высота  ВС  АМ.

Билет № 15.