2. Определение угла; биссектрисы угла. Доказать теорему о свойстве биссектрисы угла.

Определение 1. Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а общее начало лучей – вершиной угла. Угол разделяет плоскость на две части. Одна из частей называется внутренней областью угла, а другая – внешней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Определение 2. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Характерное свойство биссектрисы угла (прямая теорема). Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.

Д оказательство:

Пусть дан угол со сторонами m и n и вершиной А, где b – биссектриса угла.

Возьмем произвольную точку D на биссектрисе b и опустим из нее перпендикуляры на стороны m и n. Рассмотрим полученные треугольники ABD и ACD.

ABD = ACD = 90°;

BAD = CAD (b – биссектриса);

AD – общая;

ABD = ACD (как прямоугольные по гипотенузе и острому углу).

 BD = CD.

Х арактерное свойство биссектрисы угла (обратная теорема). Точка угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе угла.

Доказательство:

Пусть дан угол со сторонами m и n и вершиной А. Возьмем произвольную точку D внутри угла таким образом, что перпендикуляры, опущенные из нее на стороны m и n угла А равны. Рассмотрим полученные треугольники ABD и ACD.

ABD = ACD = 90°;

BD = CD;

AD – общая;

ABD = ACD (как прямоугольные по гипотенузе и катету).

 BAD=CAD  b – биссектриса А.

Определение 3. Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.

Билет № 4.

1. Определение отрезка, его обозначение. Аксиома расположения точек на прямой (чертеж, символическая запись). Что называется длиной отрезка, его серединой?

Определение 1. Множество точек, состоящее из точек А и В, а также точек, лежащих между ними, называется отрезком.

Определение 1а. Часть прямой, ограниченная двумя точками, называется отрезком.

Такой отрезок обозначают АВ или ВА. Точки А и В называются концами отрезка, а все другие точки отрезка называются его внутренними точками.

Аксиома расположения точек на прямой.

1. Всякая точка О, лежащая на прямой, делит эту прямую на два луча так, что любые две точки одного луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лучей лежат по разные стороны от точки О. Точка О принадлежит при этом обоим лучам.

2. Из трех различных точек прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (иначе масштабным отрезком).

Определение 2. Длина отрезка – это расстояние между концами данного отрезка. Выбрав единицу измерения можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Аксиомы измерения отрезков: