1.3. Умножение натуральных чисел и их свойства
Определение :
Умножением натуральных чисел называется функция, которая удовлетворяет следующим условиям:
Теорема :
Умножение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определятся единственным образом.
Доказательство:
Аналогично теореме1 для сложения натуральных чисел.
Теорема:
Доказательство
Фиксируем a,b. ММИ (с) :
Если с=1 (а+b)c=a+b=a*1+ b*1
Пусть (a+b)c=ac+bc
Доказ.:
(a+b)
=a
+b
?
(a+b) =(a+b)c+(a+b)=(ac+bc)+(a+b)=(ac+a)+(bc+b)= a +b
Теорема (закон камутативности)
Доказательство:
ММИ b=1 , 1*1=1*1 - истина
Пусть 1*b=b*1 ?
1*
=1*b+1=b*1+1=
ab=
ММИ(a)
a=1 , 1*b=b*1
=
?
=(a+1)*b=ab+b=ba+b*1=
Теорема (левый закон дистрибутивности)
Доказательство:
c(a+b)=(a+b)c=ac+bc=ca+cb
Теорема (закон ассациотивности умножения)
Доказательство:
ММИ (с) :
Если с=1 (аb)1=ab=a *b* 1=a(b*1)
Пусть (ab)c=a(bc)
Доказ.:
(ab)
=a
b
?
(ab) =(ab)c+(ab)=a(bc)+ab=a(bc+b)= a(b
1.4. Порядок на множестве натуральных чисел.
Определение 1:
Пусть
.
Будем говорить, что
,
если
,
что
Свойство:
Доказательство:
.
Теорема 1 (Свойство o трихотомии):
имеет
место только одно из соотношений:
Доказательство:
1) существование:
,
ММИ(
).
Пусть
для
и
выполняется одно из соотношений
.
Докажем
для
и
:
:
:
2) единственность: докажем, что никакие два соотношения одновременно не выполняются:
:
:
;
;
:
,
⊠
Определение
2: Отношение
на множестве
называется отношением строгого порядка,
если оно:
1)
антирефлексивно:
:
истина.
2)
ассиметрично:
:
3)
транзитивность:
:
Теорема
2:
Отношение
является отношением строгого порядка
на множестве
Определение
3:
,
если
Определение 4: Отношение на мн-ве называется отношением порядка, если оно:
1)
рефлексивно:
:
истина.
2)
антисимметрично:
:
3) транзитивность: :
Теорема
3:
Отношение «
»
является отношением порядка на множестве
.
Доказательство: 1), 2) – очевидно.
3)
?
,
,
⊠
Свойство
2:
Доказательство: ММИ( )
:
– истина.
Пусть .
Докажем
⊠
Определение
5:
Отношение порядка
на множестве
называется линейным, если
выполняется:
.
Теорема
4:
Отношение «
»
является отношением линейного порядка
на множестве
,
т.е.
Доказательство:
,
ММИ(
)
:
Пусть
Доказать
,
,
⊠
Теорема
5 (закон
монотонности сложения):
1)
2)
Доказательство:
1) (
)
Если
Если
2)
(
)
. От
противного: пусть
, 
?! ⊠
Замечание: аналогичные свойствам 1,2 и т.5 выполняются для строгих неравенств (записать и доказать самостоятельно)
Теорема 6 (закон монотонности умножения):
1)
2)
Замечание: аналогично для строгих неравенств.
Следствие:
1)
2)
3)
4)
Замечание: аналогично для строгих неравенств.
Свойство архимедовость множества
Доказательство:
⊠
Свойство дискретность множества
(Числа и – соседние. В дискретном множестве все точки изолированы, существует понятие «соседи»)
Доказательство:
, 
?!
⊠