1.3. Геометрия кристаллической решетки. Трансляция. Элементарная ячейка. Элементы симметрии.

К ристалл имеет прерывистую периодическую структуру. С геомет-рической точки зрения такую структуру можно создать с помощью операции параллельного смещения, которая называется трансляцией. Переместим (рис. 1.3.1) неко-торую точку р₀ вдоль прямой на расстояние а в положение р₁. Затем на такое же расстояние в положение р₂ и т.д. С помощью трансляции а (где а – вектор) получается ряд точек. Если точки представляют собой центры атомов, то получится одномерная цепочка атомов. Трансляция а представлена вектором, имеющим опреде-ленное направление и численное значение, равное а, называемое периодом трансляции. С помощью вектора, а можно осуществить множество параллельных перемещений – 2а; За и т.д., в общем случае т∙а трансляций, из которых а - наименьшая.

Если точку р_о подвергнуть действию одновременно двух трансляций а и b, то в результате получится плоская сетка (рис. 1.3.2). Положение любой точки на этой сетке определяется векторной суммой mа+nb, где т и п - целые числа, включая нуль. Если же подвергнуть точку р_о одновременному действию трех трансляций а,b,с, то получится пространственная решетка, а положение любой точки будет определяться комбинацией перемещений ma+nb+pc .

Комбинация трех векторов а,b,с называется трансляционной группой. Параллелепипед, образованный векторами а,b,с, называется элементарной ячейкой. В каждой плоскости, проходящей через любые три точки пространственной решетки, атомы образуют правильную плоскую сетку. Наиболее плотно заселенные плоскости являются плоскостями спайности.

Благодаря периодически повторяющемуся расположению атомов, кристалл обладает определенной симметрией. Свойство симметрии кристалла (или любой другой фигуры) заключается в том, что в результате некоторых мысленных операций система частиц кристалла (любая система точек) совмещается сама с собой и переходит в положение, неотличимое от исходного.

Элементами симметрии являются:

•плоскость симметрии,

•ось симметрии,

•центр симметрии

•зеркально-поворотная ось симметрии.

Любую симметрию кристалла удобно представить как совокупность отдельных элементов симметрии, каждому из которых соответствует какая-

нибудь из упомянутых операций.

Ось симметрии (рис.1.3.3). Если кристалл обладает осью симметрии (поворотной осью), то он может быть совмещен сам с собой, т.е. приведен в положение неотличимое от исходного, путем поворота на некоторый угол вокруг этой оси. В зависимости от симметрии кристалла величина угла поворота, необходимого для совмещения кристалла с самим собой, может составлять 360, 180, 120, 90, 60 градусов. (2п / п, где n = 1, 2, 3, 4 или 6). В соответствии с этим ось симметрии называют осью первого, второго, третьего, четвертого или шестого порядка. Других осей симметрии не существует. Это связано с тем, что по определению при повороте кристалл должен совместиться сам с собой, т.е. пространство должно быть заполнено без промежутков. А из геометрии известно, что плоскость можно заполнить лишь треугольниками, параллелограммами и шестиугольниками, а пространст­во - телами, грани которых представлены этими фигурами.

Плоскость симметрии (рис.1.3.4). Если одна половина кристалла совмещается с другой при отражении в некоторой плоскости, как в зеркале, то такая плоскость называется плоскостью симмет-рии. Например, для прямоугольника плос-костями симметрии являются плоскости 1-1 и 2-2. Части фигуры по обе стороны этих плоскостей являются зеркальным отраже-нием друг друга. Но плоскость 3-3, также делящая фигуру пополам, не является плоскостью симметрии, так как отражение в ней одной половины не совпадает с изображением другой.

Центр симметрии. Если в кристалле существует точка, обладающая тем свойством, что при замене радиуса-вектора r, любой из частиц, составляющих кристалл на обратный ему вектор -r, кристалл переходит в

состояние, неотличимое от исходного, то эта точка называется центром симметрии или центром инверсии.

Поворотно-зеркальная ось (рис.1.3.5). К этому элементу симметрии приводит одновременное применение двух операций: поворота вокруг оси и зеркального отражения в плоскости, перпендикулярной оси. Это значит, что кристалл обладает поворотно-зеркальной осью симметрии, если его можно совместить с самим собой, повернув на некоторый угол вокруг оси и отразив затем в плоскости, перпендикулярной к этой оси. Если угол поворота, равен 2π /n , то п определяет порядок поворотно-зеркальной оси.

Симметрия любого кристалла может быть описана с помощью перечисленных четырех элементов симметрии. Причем перечисленные элементы симметрии могут в кристаллах по-разному комбинироваться.