1.3.Особенности функционирования систем.

Состояние любой реальной системы в каждый момент времени можно описать с помощью некоторого множества характеризующих систему величин - параметров.

Для описания состояния и движения системы можно применять словесные описания, табличные или математические выражения, графические способы.

Словесное описание сводится к последовательному перечислению и характеристике параметров системы, тенденции их изменения, последовательности смены состояний системы - приближенно, субъективно.

Таблицы и матрицы получили самое широкое распространение для количественной характеристики систем, выражаемой значениями их параметров в некоторые моменты времени. По этим таблицам строят диаграммы и графики, дающие наглядное представление о динамике системы.

Однако наиболее глубокой и наглядной является формализованная геометрическая интерпретация состояния и движения систем в так называемом пространстве состояний или фазовом пространстве.

Процесс функционирования любой системы может быть представлен несколькими способами.

1) Входные и выходные воздействия представляются множеством чисел с помощью функций преобразования входов в выходы.

2) С помощью таблиц соответствия, в которых в одну графу заносятся значения входных воздействий, а в другую - значения выходных воздействий.

3) Графический способ является наиболее наглядным для описания динамических систем.

Для описания движения динамической системы широко используется метод, основанный на использовании фазового пространства, так называемого n - мерного пространства, где n - число обобщенных координат системы. Для каждой системы с помощью n- мерного пространства формируют область допустимых состояний, т.е. в этой области может находиться точка, отображающая движение системы случае ее нормального функционирования.

1.3.1.Пространство состояний системы.

Пространством состояний системы называется пространство, каждой точке которого (изображающей точке) однозначно соответствует определенное состояние рассматриваемой динамической системы, а каждому процессу изменения состояний системы соответствует определенная траектория перемещения изображающей точки в пространстве.

Для описания движений динамических систем широко используется метод, основанный на использовании фазового пространства (n-мерного Евклидова пространства), по осям которого откладываются значения всех n обобщенных координат рассматриваемой динамической системы. При этом взаимно однозначное соответствие между состояниями системы и точками фазового пространства достигается выбором числа измерений последнего, равного числу обобщенных координат рассматриваемой динамической системы.

Обозначим параметры некоторой системы Z₁, Z₂, . . , Z_n, которые будем именовать в дальнейшем фазовыми координатами системы, а состояние (фазу) системы изобразим точкой Z=(Z₁, Z₂, . .. , Z_n) в фазовом пространстве. Размерность этого пространства определяется, очевидно, числом фазовых координат, т. е. числом отобранных для описания системы и ее существенных параметров. Примеры:

1) одномерное фазовое пространство;

2) двухмерное фазовое пространство;

3) трехмерное фазовое пространство.

Геометрическое место точек при переходе системы из состояния Z₁ в Z₂, представляющее некоторую траекторию в фазовом пространстве, отражает процесс движения системы.

В общем случае, когда число параметров, характеризующих систему, произвольно и больше трех, геометрическая интерпретация теряет наглядность. Однако геометрическая терминология в этих случаях остается удобной для описания состояния и движения систем в многомерном фазовом пространстве (гиперпространстве). Число независимых параметров системы называют числом степеней свободы.

Область фазового пространства, за пределы которого не должна выходить изображающая точка, называется областью допустимых состояний системы S_д. При исследовании и проектировании систем всегда исходят из того, что система остается в пределах области ее допустимых состояний.

Фактически в нормальных условиях эксплуатации параметры системы изменяются в более узких пределах, определяя рабочую область S_p. Геометрически это показано на рис. 1.3.

Область допустимых состояний (или поле системы) включает в себя всевозможные фазовые траектории, т. е. "линии поведения системы".

Рис. 1.3

Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом рассматриваемой динамической системы.

Во всех случаях, когда параметры системы могут принимать в определенном интервале любые значения, т. е. изменяться плавно, изображающая точка может располагаться в любой точке области допустимых состояний - имеем дело с непрерывным пространством состояний.

Когда параметры системы могут принимать лишь дискретные значения - пространство состояний таких систем должно рассматриваться как дискретное. Точка, изображающая состояние системы, может находиться только в определенных фиксированных точках области допустимых состояний.

Изменение состояний такой системы интерпретируется скачками изображающей точки из одного состояния в другое, и т.д. Траектория движения изображающей точки будет иметь дискретный, прерывистый характер. Однако деление характеристик систем на непрерывные и дискретные условно, т. к. любые непрерывные процессы - дискретны (дискретна материя).

Любые процессы формирования системы могут условно рассматриваться в непрерывном и дискретном времени.

Первое относится к случаю фиксации состояний системы последовательностями изображающих точек, которые соответствуют отсчетам, осуществляемым через сколь угодно малые интервалы времени t.

Второе соответствует отсчетам, которые берутся через определенные (не бесконечно малые) t - например такты дискретного автомата.