3.4.2.Некоторые модели ансамбля реализации.
Нормальный шум. Удобной моделью помех и некоторых полезных сигналов является стационарный нормальный случайный процесс. Такое название вызвано тем, что случайные мгновенные значения величины x(t) предполагаются подчиненными нормальному закону (с нулевым средним), т.е. плотность распределения первого порядка выражается формулой
(11)
Для плотности распределения второго порядка справедлива формула
Использованные здесь обозначения таковы:
— мощность шума (дисперсия мгновенных
значений);
— нормированная функция автокорреляции;
Сигнал как колебание со случайными огибающей и фазой. Понятия амплитуды и фазы, введенные первоначально для гармонических сигналов, с помощью модуляции были обобщены на сигналы, которые уже не являются гармоническими. Легко обобщить их на произвольные сигналы.
Негармонический сигнал изобразится как вектор, совершающий вращения или колебания (изменяется угол) и изменяющий свою длину R.
При всей простоте такая модель позволяет
легко описывать различные преобразования
сигналов. Например, сумма двух колебаний
с частотой
изобразится как сумма двух соответствующих
векторов (при этом автоматически
учитываются фазовые соотношения).
Вектор шума случаен, обе его компоненты
нормальны с нулевым средним и дисперсией
.
Сложение сигнала и шума приводит к
вектору с нормальными компонентами, у
одной из них среднее равно S, а у другой
— нулю:
(12)
Поскольку существуют радиотехнические устройства, чувствительные только к огибающей или только к фазе принимаемого сигнала, имеет смысл рассмотреть их статистические свойства.
Можно показать, что огибающая распределена
по закону Рэлея, фаза — равномерно в
интервале
,
R и
независимы (так как их совместное
распределение факторизовалось).
3.5.О некоторых свойствах непрерывных сигналов
Хотя мы излагаем лишь элементы теории сигналов, преследуя только ознакомительные цели, представляется интересным рассмотреть два основных ее аспекта, относящихся к свойствам непрерывных сигналов.
3.5.1.Частотно – временное представление сигналов
Известно, что некоторая функция x(t) и ее спектр X(f) однозначно выражаются друг через друга. Следовательно, сигнал можно рассматривать в любом из этих эквивалентных представлений — временном или частотном. При этом масштабные параметры этих представлений связаны обратно пропорциональной зависимостью. Пусть x(t) имеет спектр X(f). Изменим масштаб по оси времени в а раз (например, воспроизведем запись x(t) с другой скоростью) и найдем спектр функции X(at):
(13)
Как видим, масштаб по частотной оси изменился в 1/а раз. Более того, из свойств преобразования Фурье следует, что сигналы с ограниченной длительностью имеют спектры неограниченной ширины, а сигналы с ограниченной полосой частот длятся бесконечно долго.
Этот математический результат находится в противоречии с практикой: в реальности все сигналы конечны по длительности, а все чувствительные к сигналам устройства не могут воспринимать и воспроизводить абсолютно все частоты. Например, диапазон частот, к которым чувствителен слух человека, простирается от нескольких герц до 20-30 кГц, а все различимые звуки человеческой речи длятся доли секунды.
Тот факт, что аналитическая функция времени не может быть одновременно ограниченной и по длительности, и по ширине спектра, является, как видим, не свойством реальных сигналов, а свойством данной модели сигналов. Мы уже отмечали, что если не отказываться от достоинств аппарата аналитических функций, то выход состоит в том, чтобы как-то иначе ввести в рассмотрение конечную точность реализаций функций времени. Правда, пока эта конечная точность не будет свойством самих реализаций, ее искусственное введение в модель можно проводить на разных этапах, что придает результатам некоторую относительность.
Например, говорить об одновременной ограниченности сигналов и по времени, и по спектру оказывается возможным при использовании энергетического критерия точности: сигнал считается имеющим конечную длительность Т, если в этом интервале времени сосредоточена основная часть всей энергии функции x(t). В то же время и ширина спектра F сигнала определяется как область частот, содержащая эту же часть всей энергии спектра X(f):
(14)
Здесь величина
меньше единицы, но достаточно близка к
ней, а величина
характеризует косвенным образом
точность, о которой шла речь.
Теперь можно говорить о том, какую "площадь" на плоскости "частота — время" занимает тот или иной сигнал. Если строго следовать теории Фурье - преобразований, то получим, что эта площадь для всех сигналов бесконечна, но для большинства из них энергетический критерий позволит ограничить ее естественным образом. Меняя форму сигнала s(t), можно менять и занимаемую им площадь. Оказывается, что уменьшать эту площадь можно лишь до некоторого предела. Этот предел достигается на кривой, являющейся гармоническим колебанием, которое модулировано по амплитуде гауссовым импульсом; интересно, что спектр этой кривой имеет такую же форму:
(15)
(16)
Существование предела, ниже которого нельзя сжать площадь сигнала, занимаемую им на плоскости "частота - время", и называется (по аналогии с принципом неопределенности в квантовой механике) принципом частотно-временной неопределенности сигналов:
(17)
Все реальные сигналы длятся конечное время, и все реальные системы не могут реагировать на абсолютно все частоты. Следовательно, как длительность, так и ширина спектра сигнала ограничены. Аналитическая модель сигнала позволяет говорить об этих характеристиках приближенно. В этом мы видим конкретный пример проявления расхождений между моделью и оригиналом. Практически всякий сигнал можно представить состоящим из более простых компонент. В математике этой идее соответствует представление функций их разложениями в ряды и интегралы. В теории сигналов специальное внимание уделяется условиям, при которых непрерывные функции можно однозначно представить в виде дискретного набора элементарных функций.