22.6. Обращение преобразования лапласа

Задача восстановления оригинала по известному изображению в общем случае сводится к необходимости рассмотреть обратное преобразование Лапласа. Вопрос о единственности, достаточные условия существования, формулы для нахождения обратного преобразования Лапласа излагаются подробно, например, в [2]. Укажем основные теоремы этой теории.

Теорема (существования оригинала)

Пусть функция комплексной переменной удовлетворяет следующим условиям:

1. – АФКП в области ;

2. в области функция стремится к нулю при равномерно относительно ;

3. для всех сходится интеграл

, . (16)

Тогда функция при является изображением функции действительной переменной , которая определяется выражением

, , (17)

Интеграл (16) представляет собой несобственный интеграл от действительной функции по прямой . Несобственный интеграл (17) вычисляется вдоль прямой и понимается в смысле главного значения. Равенство (17) имеет место в точках непрерывности функции ("почти всюду").

Применяя методы вычисления контурных интегралов ФКП (см. п.6.3) на основе леммы Жордана, можно получить следующие теоремы для вычисления интеграла (17).

Теорема 1

Пусть изображение аналитически продолжимо на полуплоскость , причем продолженная функция удовлетворяет условиям:

1. при имеет конечное число изолированных особых точек ;

2. при стремится к нулю равномерно относительно .

Тогда интеграл (17) вычисляется по формуле

. (18)

Теорема 2 (о рациональном изображении)

Пусть изображение есть правильная несократимая рациональная дробь , . Пусть знаменатель имеет корни кратности соответственно так, что , .

Тогда оригинал может быть найден по формуле

. (19)

Частный случай теоремы (о рациональном изображении) для ситуации, когда все корни знаменателя являются простыми, т.е. , , позволяет находить оригинал по формуле

. (20)

ПРИМЕР 27. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Знаменатель имеет корни кратности и кратности . Находим вычеты функции в полюсах и , а именно

.

Аналогично

.

Окончательно искомый оригинал запишется в виде

, .

ПРИМЕР 28. Найти оригинал , если изображение его есть .

Решение. Знаменатель имеет только простые нули , . Поэтому

.

Итак, , .

22.7. Примеры применения операционного исчисления к решению дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ПРИМЕР 29. Найти частное решение уравнения

,

удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Обозначим изображение искомого решения через , т.е. , тогда .

Правую часть уравнения представим в виде , поэтому изображение ее есть .

От дифференциального уравнения переходим к операторному

,

откуда

, .

Рекомендуем всегда проводить проверку найденного решения, т.е. убедиться, что найденная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и указанным в задаче начальным условиям.

ПРИМЕР 30. Найдите решение системы дифференциальных уравнений удовлетворяющее начальным условиям , , .

Решение. Обозначим , , . Тогда , , .

Каждое из дифференциальных уравнений системы заменим операторным уравнением:

Полученную систему линейных алгебраических уравнений решаем методом Крамера:

, и или .

Аналогично

;

.

Ответ: ; ;

, . Рекомендуем провести проверку полученного результата.

В курсах теоретических основ электроники и радиотехники часто решаются линейные неоднородные дифференциальные уравнения, правая часть которых – "склеенная" функция.

Рассмотрим пример решения уравнения подобного типа.

ПРИМЕР 31. Найти решение уравнения

при .

Решение. Пусть , тогда и левая часть уравнения имеет изображение . Чтобы найти изображение правой части уравнения, запишем через единичную функцию Хевисайда: .

По теореме запаздывания имеем .

Итак, данное дифференциальное уравнение переходит в операторное уравнение , решение которого

.

Находим оригиналы слагаемых:

; .

Поэтому имеем или

Задания

1. Решить уравнение

при .

Ответ: .

2. Решить систему уравнений при , . Ответ:

2. Решить дифференциальное уравнение при , где функция задана графиком как треугольный импульс (см. рисунок).

Ответ: если – решение и ,

, то . Имеем

и

.