22.8. Свертка односторонних функций; ее свойства. Теорема бореля*

Сверткой функций и , заданных на , называется функция, равная интегралу , ; она обозначается , т.е.

, . (21)

Свойства свертки

1. Симметрия, т.е. .

В самом деле, изменяя порядок интегрирования и полагая , получаем равенство

.

2. Если и – оригиналы, то и их свертка также является оригиналом с показателем роста, равным наибольшему из показателей роста функций и . Рекомендуем доказать самостоятельно это утверждение или же посмотреть в [3].

ПРИМЕР 32. Найти свертку функций и .

Решение. , здесь ко второму интегралу применено интегрирование по частям.

Теорема Бореля

Если функции и – оригиналы и , и , , то произведение изображений является изображением свертки соответствующих оригиналов для :

. (22)

В самом деле, по определению изображения имеем

.

Замечаем, что справа стоит двойной интеграл с областью интегрирования , изображенной на рисунке. Изменяя в этом интеграле порядок интегрирования, получаем

.

Замена переменной интегрирования позволяет записать

.

Поскольку внутренний интеграл не зависит от , а внешний от , то двойной интеграл равен произведению двух интегралов, т.е.

.

Теорема Бореля применяется для нахождения оригинала в случае, когда изображение представлено в виде двух множителей, для каждого из которых оригинал устанавливается.

ПРИМЕР 33. Найти оригинал , соответствующий изображению .

Решение. Представим . Так как и , то

.

Вычисляя интеграл

, получаем .

Заметим, что для нахождения оригинала можно было разложить

на простейшие дроби и использовать табл. 2.

ПРИМЕР 34. Решить дифференциальное уравнение при .

Решение. Пусть . Тогда операторное уравнение имеет вид , откуда . Найти оригинал можно различными способами.

1. разложим на простейшие дроби

,

откуда имеем . Применяя метод неопределенных коэффициентов, получаем , , ; поэтому имеем

, .

2. Найдем оригинал по формуле обращения. Функция имеет три простых полюса , . По формуле (19) получаем

, .

3. Применим теорему Бореля, представив в виде произведения изображений:

.

Поскольку, , то , .

Таким образом, окончательно получаем решение дифференциального уравнения , .

Задание. Используя теорему Бореля, найти оригинал по изображению а) ; б) .

Ответы: а) , ; б) , .

22.9. Формулы дюамеля. Применение их к решению дифференциальных уравнений

Иногда изображения приводятся к виду , причем оригиналы изображений и известны, т.е. и . Тогда оригинал изображения можно найти через оригиналы и следующим образом.

Выражение можно записать в виде

или

.

По свойству дифференцирования оригинала имеем и Применяя теперь теорему Бореля к изображениям и , получаем

или

. (23)

Аналогично получается формула

. (24)

Соотношения (23) и (24) называются формулами Дюамеля, а интегралы в правых частях формул называются интегралами Дюамеля. Заметим, что можно использовать свойство симметрии свертки функций и , а также и , и получить еще две формулы Дюамеля:

. (25)

. (26)

Формулы Дюамеля применяются, например, для решения дифференциальных уравнений в некоторых ситуациях.

Пусть известно решение линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с единичной правой частью и нулевыми начальными условиями в нуле:

, (27)

. (28)

Найти решение аналогичного дифференциального уравнения с правой частью :

(29)

при тех же начальных условиях (28).

Решение задачи. Предположим, что искомое решение , функция и решение уравнений (27) – (28) являются оригиналами, причем , , . Тогда для дифференциальных уравнений (27) – (28) и (29) – (28) операторные уравнения запишутся соответственно

и

.

Разделив равенства, получим или . Применяя к формулы Дюамеля (23) – (26), получим решение уравнения (29) при (28), например, в виде или и т.д.

ПРИМЕР 35. Найти решение дифференциального уравнения при .

Решение. Рассмотрим вспомогательное уравнение при . Ему соответствует решение , .

Для решения исходного уравнения воспользуемся формулой Дюамеля (24) при и , получаем

.

Итак, решение уравнения есть

.

Теорема Бореля и формулы Дюамеля дают дополнительные возможности нахождения оригинала по изображению.

Задание

1. Используя формулу Дюамеля, решить дифференциальное уравнение при .

Ответ: , .

2. Проверить, что – решение дифференциального уравнения при . Найти решение уравнения при .

Ответ: , .

*^* Пьер Симон Лаплас (1749 – 1827) – французский астроном, математик

*^* Оливер Хевисайд (1850 – 1925) – английский физик

*^* Эмиль Борель (1871 – 1956) – французский математик

456