Параметри Денавіта-Хартенберга для розглянутого випадку

Зчленування	і	і	аі	di
і = 1	1	-90	0	8.1
і = 2	2	0	7	0
і = 3	3	0	7	0
і = 4	4	90	0	0
і = 5	5	0	0	3.8

Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі.

% запишемо параметри перетворення Денавіта-Хартенберга

theta1=0;theta2=0;theta3=45*pi/180;theta4=60*pi/180; theta5=30*pi/180;

alpha1=-90*pi/180; alpha2=0; alpha3=0; alpha4=90*pi/180; alpha5=0;

a1=0;a2=7;a3=7;a4=0;a5=0; d1=8.1;d2=0;d3=0;d4=0;d5=3.8;

%згідно формули запишемо відповідні матриці переходу

%з сусідніх систем координат

A01=[cos(theta1) -cos(alpha1)*sin(theta1) sin(alpha1)*sin(theta1) a1*cos(theta1);

sin(theta1) cos(alpha1)*cos(theta1) -sin(alpha1)*cos(theta1) a1*sin(theta1);

0 sin(alpha1) cos(alpha1) d1;

0 0 0 1];

A12=[cos(theta2) -cos(alpha2)*sin(theta2) sin(alpha2)*sin(theta2) a2*cos(theta2);

sin(theta2) cos(alpha2)*cos(theta2) -sin(alpha2)*cos(theta2) a2*sin(theta2);

0 sin(alpha2) cos(alpha2) d2;

0 0 0 1];

A23=[cos(theta3) -cos(alpha3)*sin(theta3) sin(alpha3)*sin(theta3) a3*cos(theta3);

sin(theta3) cos(alpha3)*cos(theta3) -sin(alpha3)*cos(theta3) a3*sin(theta3);

0 sin(alpha3) cos(alpha3) d3;

0 0 0 1];

A34=[cos(theta4) -cos(alpha4)*sin(theta4) sin(alpha4)*sin(theta4) a4*cos(theta4);

sin(theta4) cos(alpha4)*cos(theta4) -sin(alpha4)*cos(theta4) a4*sin(theta4);

0 sin(alpha4) cos(alpha4) d4;

0 0 0 1];

A45=[cos(theta5) -cos(alpha5)*sin(theta5) sin(alpha5)*sin(theta5) a5*cos(theta5);

sin(theta5) cos(alpha5)*cos(theta5) -sin(alpha5)*cos(theta5) a5*sin(theta5);

0 sin(alpha5) cos(alpha5) d5;

0 0 0 1];

%очевидно, що матриця перетворення з базової системи координат

%в систему координат захоплювача буде результатом

%послідовного множення відповідних матриць

%результати записати з командного вікна Matlab

A05=A01*A12*A23*A34*A45

Результат запуску програми (матриця перетворень А₀⁵) занесіть у звіт.

4. Відпрацюйте приклад 3.

Приклад 3. Точка r_uvw = [6, 4, 2]^T задана в системі координат захоплювача 0UVW. Необхідно знайти координати тієї самої точки r_xyz, але в базовій системі координат 0XYZ, якщо відомо, що система координат захоплювача обернена відносно базової на 60 навколо осі z проти годинникової стрілки та зміщена по тій самій осі на 5 одиниць догори.

Розв’язок. Визначимо кути між осями двох систем координат (рис. 2, а): _xu = _yv = 60, _xw = _yw = _zu = _zv = 90, _zw = 0, _yu = -90 + 60, _xv = 90 + 60. Вектор переносу початку системи координат буде таким (рис. 3.2, б): [0 0 5]^T.

Рекомендується набрати та запустити наведений нижче лістинг програми в Matlab з метою набуття навичок практичного розв’язання представленої типової задачі.

r_UVW=[3 4 5 1]’ ; % координати точки в СК захоплювача

%задамо кути для матриці направляючих косинусів

alpha_xu=60*pi/180; alpha_yv=alpha_xu; alpha_xw=90*pi/180;

alpha_yw=alpha_xw; alpha_zu=alpha_xw; alpha_zv=alpha_xw;

alpha_zw=0; alpha_yu=(-90+60)*pi/180; alpha_xv=(90+60)*pi/180;

%задамо вектор положення початку системи координат захоплювача

px=0;py=0;pz=5;

% тепер запишемо матрицю бажаного положення та орієнтації Т:

T=[cos(alpha_xu) cos(alpha_xv) cos(alpha_xw) px

cos(alpha_yu) cos(alpha_yv) cos(alpha_yw) py

cos(alpha_zu) cos(alpha_zv) cos(alpha_zw) pz; 0 0 0 1];

%тепер знайдемо координати точки в системі координат XYZ

%результати можна побачити в командному вікні Matlab

r_XYZ=T*r_UVW

Результат запуску програми (координати точки r_XYZ) занесіть у звіт.

5. Р

   

   Рис. 3.5. Робот в сферичній (або полярній) системі координат

   озглянемо приклад 4.

Приклад 4. Розв’яжемо обернену задачу кінематики аналітично для робота, що працює в сферичній системі координат (, , r) (рис. 3.5).

Розв’язок. Відповідно до перетворення Денавіта-Хартенберга матриця положення та орієнтації захоплювача набуде наступного вигляду:

Після множення ми отримаємо:

Бажана матриця положення та орієнтації захоплювача представляється наступним чином:

Можливий розв’язок представляється таким чином:

(3.3)

6. Розв’яжіть самостійно наступні типові завдання, аналогічні розглянутим.

Для точки А з координатами в базовій системі координат А_XYZ=[10 30 -5 1]^T знайдіть координати в системі координат захоплювача UVW, якщо відомий вектор переміщень зчленувань =[  r]^T=[30 10 4]^T. Результат занесіть у звіт.

Точка A_uvw = [10 -14 7 1]^T задана в системі координат захоплювача 0UVW. Необхідно знайти координати тієї самої точки А_xyz, але в базовій системі координат 0XYZ, якщо відомо, що система координат захоплювача обернена відносно базової на 30 навколо осі y проти годинникової стрілки та зміщена по тій самій осі на 14 одиниць праворуч. Результат занесіть у звіт.