2. Проективные теоремы.
Ниже приводятся известные теоремы геометрии, которые легко доказываются применением проективного преобразования:
Теорема 2.1. (теорема Дезарга) Если прямые, содержащие соответственные стороны треугольников ABC и A´B´C´ (т.е. AB и A´B´, BC и B´C´, AC и A´C´), пересекаются в точках P, Q, R лежащих на одной прямой ℓ, то прямые, соединяющие соответственные вершины этих треугольников, пересекаются в одной точке.
Теорема 2.2. (теорема Паппа) Если точки А, В, С лежат на прямой ℓ, точки А´, В´, С´ - на прямой ℓ´, то точки P, Q, R пересечения прямых АВ´ и А´В, АС´ и А´С, ВС´ и В´С соответственно лежат на одной прямой.
Теорема 2.3. (теорема Паскаля) Точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на одной прямой.
Теорема 2.4. (теорема Брианшона) Главные диагонали описанного шестиугольника пересекаются в одной точке.
Не будем подробно проводить доказательство этих теорем, покажем лишь, какое преобразование сводит каждую из этих задач к очевидной:
Теорема 2.1 – проективное преобразование, переводящее прямую ℓ в бесконечно удалённую;
Теорема 2.2 – проективное преобразование, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую;
Теорема 2.3 – проективное преобразование, сохраняющее описанную окружность, переводящее прямую PQ в бесконечно удалённую, где P, Q – точки пересечения двух пар противоположных сторон шестиугольника;
Теорема 2.4 – проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность, переводящее точку пересечения двух диагоналей в центр этой окружности.
3. Полярное соответствие, принцип двойственности.
Определение. Полярное
соответствие на плоскости относительно
окружности с центром О и радиусом r
ставит в соответствие каждой точке А,
отличной от О, прямую а, перпендикулярную
ОА и пересекающую луч ОА в такой точке
А´, что
.
Прямая а называется полярой точки
А, а точка А – полюсом прямой а.
Полярой точки О является бесконечно
удалённая прямая, а полярой бесконечно
удалённой точки – прямая, содержащая
диаметр, перпендикулярный проходящим
через неё параллельным прямым.
Свойства.
Если точка В лежит на поляре а точки А, то её поляра проходит через А.
Полюс прямой является пересечением поляр всех её точек.
Поляра точки является геометрическим местом полюсов всех проходящих через эту точку прямых.
Полярой точки А, лежащей вне окружности, будет прямая, соединяющая точки касания окружности с касательными, проведёнными к ней из точки А.
Если проективное преобразование сохраняет данную окружность и переводит точку А в А´, то поляра а точки А переходит в поляру а´ точки А´.
Первое свойство является очевидным, а каждое следующее свойство сразу вытекает из предыдущих.
Следствие. (принцип двойственности) Пусть доказано некоторое проективное утверждение. Тогда верным будет и утверждение, полученное из доказанного взаимной заменой следующих терминов:
(точка)↔(прямая)
(лежать на прямой)↔(проходить через точку)
(лежать на окружности)↔(касаться окружности)
Двойственны, например, теоремы Паскаля и Брианшона.
Теорема 3.1. (теорема обратная теореме Дезарга) Если прямые, соединяющие соответственные вершины треугольников ABC и A´B´C´, пересекаются в одной точке, то прямые, содержащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.
Доказательство. Эта теорема двойственна теореме 2.1. (теореме Дезарга).