4. Родство пространства.

Определение. Аффинное преобразование пространства, имеющее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразованием ρ (родством), а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства. Соответственные при родстве элементы называются родственными.

Определение. Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства.

Свойства родства.

1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости родства или ей параллельны.

2. (Корректность определения направления родства) Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны.

3. Если направление родства непараллельно плоскости этого родства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, делится плоскостью родства в одном и том же отношении.

4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, неподвижна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости (аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек, называющуюся осью родства), осью которого является прямая её пересечения с плоскостью данного родства пространства.

Доказательства свойств.

1. Доказательство аналогично доказательству свойства зеркальной симметрии (часть I, §3.5).

2. Пусть А, В – две различные точки; А´, В´ – их образы при родстве, α – плоскость родства. Пусть . Тогда (свойство аффинного преобразования), т.е. АА´||ВВ´, ч.т.д.

3 и 4. Следуют из доказательства свойства 2.

Определение. Поверхность, представляемая уравнением , называется эллипсоидом. Частным случаем эллипсоида является сфера.

Имеет место следующий факт, который мы доказывать не будем, однако, при доказательстве следующих теорем он нам понадобится:

Теорема 4.1. Аффинное преобразование переводит эллипсоид в эллипсоид.

Теорема 4.2. Произвольное аффинное преобразование пространства представимо композицией подобия и родства.

Доказательство. Пусть аффинное преобразование f отображает сферу σ на эллипсоид σ´. Из теоремы 3.1 следует, что f может быть задано этими фигурами. Рассмотрим плоскость α´, содержащую центр эллипсоида и пересекающую его по некоторой окружности ω´ (существование такой плоскости легко доказать из соображений непрерывности). Пусть α – прообраз α´, – прообраз ω´, β – сфера, имеющая окружность ω´ своей диаметральной окружностью. Существует родство ρ, отображающее β на σ´, и существует подобие P, отображающее σ на β. Тогда – искомое представление.

Из доказательства предыдущей теоремы сразу следует теорема 4.3:

Теорема 4.3. Аффинное преобразование, сохраняющее сферу, является подобием.

Часть IV. Проективные преобразования.

1. Проективные преобразования плоскости.

Определение. Проективная плоскость – обычная (евклидова) плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, называемыми также несобственными элементами. При этом каждая прямая дополняется одной несобственной точкой, вся плоскость – одной несобственной прямой; параллельные прямые дополняются общей несобственной точкой, непараллельные – разными; несобственные точки, дополняющие всевозможные прямые плоскости, принадлежат несобственной прямой.

Определение. Преобразование проективной плоскости, переводящее любую прямую в прямую, называется проективным.

Следствие. Проективное преобразование, сохраняющее бесконечно удалённую прямую является аффинным; любое аффинное преобразование является проективным, сохраняющим бесконечно удалённую прямую.

Определение. Центральным проектированием плоскости α на плоскость β с центром в точке О, не лежащей на этих плоскостях, называется отображение, которое любой точке А плоскости α ставит в соответствие точку А´ пересечения прямой ОА с плоскостью β.

При этом, если плоскости α и β не параллельны, то в плоскости α найдётся прямая ℓ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ, параллельна плоскости β. Будем считать, что ℓ при нашем проектировании переходит в бесконечно удалённую прямую плоскости β (при этом каждая точка B прямой ℓ переходит в ту точку бесконечно удалённой прямой, что дополняет прямые параллельные ОВ). В плоскости β найдётся прямая ℓ´ такая, что плоскость, проходящая через точку О и прямую ℓ´, параллельна плоскости α. Будем считать ℓ´ образом бесконечно удалённой прямой плоскости α. Прямые ℓ и ℓ´ будем называть выделенными.

Мы можем говорить, что задано просто преобразование проективной плоскости (если совместить плоскости α и β).

Из определения сразу вытекают свойства центральной проекции:

1. Центральное проектирование – проективное преобразование.

2. Обратное к центральному проектированию преобразование – центральное проектирование с тем же центром.

3. Прямые, параллельные выделенным, переходят в параллельные.

Определение. Пусть точки А, В, С, D лежат на одной прямой. Двойным отношением (АВ; СD) этих точек называется величина . Если одна из точек является бесконечно удалённой, то длины отрезков, концом которых является эта точка, можно сократить.

Теорема 1.1. Центральная проекция сохраняет двойные отношения.

Доказательство. Пусть О – центр проектирования, А, В, С, D – четыре точки, лежащие на одной прямой, A´, B´, C´, D´ – их образы.

Тогда .

Аналогично .

Поделив одно равенство на другое, получим .

Аналогично, вместо точки С рассматривая точку D, получим .

Отсюда , т.е. .

Чтобы доказательство было полным, осталось заметить, что все отрезки, площади и углы можно считать ориентированными.

Теорема 1.2. Пусть даны четыре точки A, B, C, D плоскости π, не лежащие на одной прямой, и четыре точки M, N, P, Q плоскости π´, не лежащие на одной прямой. Тогда существует композиция центральной (параллельной) проекции и подобия, переводящая A в M, В в N, С в Р, D в Q.

Доказательство.

Будем для удобства говорить, что ABCD и MNPQ – четырёхугольники, хотя на самом деле это не обязательно (например, могут пересекаться отрезки АВ и CD). Из доказательства будет видно, что мы нигде не используем, что точки A, В, С, D и M, N, P, Q в указанном порядке образуют четырёхугольники.

I. Если наши четырёхугольники – трапеции (АD||BC и MQ||NP), то доказательство совсем простое. Рассмотрим четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, такой, что AD=A´D´. Расположим плоскости π и π´ так, чтобы совпали точки А с А´ и D с D´. Теперь, если , то нужный нам результат даст центральная проекция с центром О (см. рис.), а если ВВ´||CC´, то нужный нам результат даст параллельная проекция с направлением ВВ´.

II. Теперь докажем утверждение, если четырёхугольники произвольные. Пусть , . Отметим точки Х₁, Х₂, Z₁, Z₂ на прямых АВ, CD, MN, PQ соответственно так, что

; ; ; .

Проведём теперь через точки A, B, C, D прямые АK, BL, CF, DG, параллельные X₁X₂ (K, L лежат на DC; G, F – на АВ), а через точки N, M – прямые NT, MS, параллельные Y₁Y₂ (T, S лежат на PQ). Переведём центральной (параллельной) проекцией f трапецию АВLK в трапецию А´В´L´K´ плоскости π´, подобную трапеции MNTS (это возможно по части I нашего доказательства). При этом из выбора точек Х₁, Х₂ следует, что прямая Х₁Х₂ – выделенная прямая плоскости π´. Отметим на прямой L´K´ точки С´, D´ такие, что трапеция ABCD подобна трапеции A´B´C´D´. Проведём прямые C´F´, D´G´, параллельные прямой B´L´ (F´, G´ лежат на А´В´), и отметим на прямой А´В´ точку Y₁´ такую, что , . На прямой C´D´ отметим точку Y₂´ такую, что Y₁´Y₂´||A´K´ (см. рис.). Из выбора точек Y₁´ и Y₂´ следует, что прямая Y₁´Y₂´ – выделенная прямая плоскости π´. При преобразовании f точка Е переходит в точку Е´ пересечения прямых A´B´ и L´K´. Точка С переходит в некоторую точку С₀´ прямой С´D´.

Докажем, что С₀ совпадает с С´. Из того, что Х₂ при преобразовании f переходит в бесконечно удалённую точку прямой C´D´, а Y₂´ - образ бесконечно удалённой точки прямой CD и центральная проекция сохраняет двойные отношения, следует, что , откуда . Теперь рассмотрим преобразование g, композицию центральной проекции и подобия, переводящее трапецию CDGF в трапецию C´D´G´F´. Для преобразования g аналогично можно показать, что . Отсюда будет следовать, что точки С₀ и С´ совпадают. Аналогично можно показать, что D₀ – образ точки D при преобразовании f – совпадает с D´. Итак, преобразование f переводит четырёхугольник ABCD в четырёхугольник A´B´C´D´, подобный четырёхугольнику MNPQ, что и требовалось.

Теорема 1.3. Пусть даны четвёрки точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой: A, B, C, D и A´, B´, C´, D´. Тогда существует единственное проективное преобразование, переводящее А в А´, В в В´, С в С´, D в D´.

Существование такого преобразования следует из теоремы 1.1.

Единственность можно доказывать так же, как и единственность аффинного преобразования (теорема 1.1, часть III): рассматривать квадратную решётку, строить её образ, а затем измельчать. Обойти те трудности, с которыми мы столкнулись при доказательстве аффинной теоремы, нам опять не удастся.

Из теорем 1.1, 1.2, 1.3 сразу следуют некоторые важные утверждения:

Следствия.

1. Любое проективное преобразование является композицией центральной (параллельной) проекции и подобия.

2. Проективное преобразование сохраняет двойные отношения.

Задача 1.

Даны две прямые a и b и не лежащая на них точка Р. Через Р проводятся различные пары прямых, пересекающих прямые a и b в точках А, С и B, D соответственно. М – точка пересечения AD и ВС. Доказать, что все такие точки М лежат на одной прямой, проходящей через точку пересечения прямых a и b.

Решение.

Пусть О – точка пересечения прямых a и b. Переведём прямую ОР в бесконечно удалённую. Тогда четырёхугольник ABDC будет параллелограммом; М, точка пересечения его диагоналей, будет лежать на прямой, параллельной прямым a и b и отстоящей от них на равные расстояния.

Задача 2.

Можно ли окрасить 2006 точек плоскости в красный цвет и 1003 – в синий так, чтобы любая прямая, проходящая через две точки разных цветов, содержала ещё одну из окрашенных точек и все окрашенные точки не лежали на одной прямой.

Решение.

Рассмотрим проективную плоскость и правильный 2006-угольник на ней. Все вершины 2006-угольника покрасим в красный цвет, а точки пересечения сторон с бесконечно удалённой прямой покрасим в синий цвет. Легко проверить, что этот набор точек обладает требуемым свойством. Осталось лишь сделать проективное преобразование так, чтобы на бесконечно удалённой прямой не осталось отмеченных точек…

Ответ: можно.

Теорема 1.4. Дана окружность и точка M внутри неё. Существует центральная проекция, при которой данная окружность переходит в окружность, а точка M – в её центр.

Доказательство. Пусть АВ – тот диаметр нашей окружности, на котором лежит точка M. Рассмотрим косой круговой конус, основанием которого является наша окружность, а вершиной такая точка О, что . На прямых ОА и ОВ за точку О отложим точки В´ и А´ соответственно так, что ОВ=ОВ´ и ОА=ОА´:

Пусть С´ – середина А´В´ и . Применяя теорему синусов к треугольникам ОАС, ОВС, ОВ´С´ и ОС´А´, нетрудно получить соотношение , т.е. точка С в точности совпадает с точкой М. Теперь осталось заметить, что из соображений симметрии сечение нашего конуса плоскостью α, проходящей через прямую А´В´ перпендикулярно плоскости (АОВ), является окружностью, поэтому центральная проекция с центром О на плоскость α является искомой.

Из доказательства этой теоремы следует также

Теорема 1.5: Любое проективное преобразование сохраняет какую-то окружность.

Теорема 1.6. Дана окружность и не пересекающая её прямая ℓ. Существует проективное преобразование, переводящее данную окружность в окружность, а ℓ – в бесконечно удалённую прямую.

Доказательство. Пусть А, В – произвольные точки прямой ℓ, АK, AL, BM, BN – касательные к окружности из точек А и В, . По теореме 1.4 существует преобразование, сохраняющее нашу окружность, переводящее Р в её центр. При этом преобразовании отрезки KL и MN перейдут в диаметры окружности, поэтому А и В перейдут в бесконечно удалённые точки, а ℓ - в бесконечно удалённую прямую.

Задача 3.

Доказать, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных сторон и вписанной окружности, пересекаются в одной точке.

Решение.

Пусть АВС – наш треугольник, А´, В´, С´ – точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника, . Проведём проективное преобразование, сохраняющее вписанную окружность и переводящее точку Т в её центр. Тогда AA´ и ВВ´ станут одновременно и высотами, и биссектрисами треугольника АВС, т.е. треугольник АВС перейдёт в правильный, а точка Т – в его центр. Значит СС´ проходит через Т.