6.Теорема существования и единственности решения задачи Коши: .

a) Сведение к эквивалентному интегральному уравнению.

б) Построение последовательных приближений.

в) Сходимость последовательных приближений.

г) Доказать, что предельная функция является решением

эквивалентного интегрального уравнения

д) Единственность решения

Теорема о существовании и единственности.

Так как дифференциальное уравнения имеет бесконечное множество решений, то речь идет не о числе решений, а о том, как можно описать совокупность всех решений данного дифференциального уравнения.

Теорема. Пусть (1)

дифференциальное уравнение. Будем предполагать, что задана на некотором открытом множестве , которое принадлежит плоскости (декартовых координат). Предположим, что и непрерывны на . Тогда:

1. Для любой точки найдется решение уравнения (1), которое удовлетворяет условию (2)

2. Если два решения уравнения (1) совпадают хотя бы в одной точке , то решение и будут тождественно равны для всех значений переменной , для которых они определены.

Определение. Числа называется начальными значениями для решения , а условие (2) называется начальными условиями. Теорема утверждает, что координаты могут быть начальными значениями для некоторого решения уравнения (1). Два решения с общими начальными условиями совпадают.

Геометрическая интерпретация.

Через некоторую точку Г проходит только одна интегральная кривая. Решением (1) обычно называется некоторая функция , заданная на некотором определенном интервале . Наряду с этой функцией может быть определена функция , которая также является решением, но она задана на другом интервале . Второй пункт утверждает, что совпадают на интервале, на котором они обе определены. Если полностью содержит , то решение , заданное на это есть продолжение решения . Поэтому если подразумевать под интегральной кривой график не продолжаемого решения, то утверждение о том, что через каждую точку проходит единственная кривая становится точным.

Доказательство:

1. Переход от дифференциального уравнения к интегральному.

а) Пусть некоторое решение (1) определенное на ,тогда выполняется тождество: (*)

при этом пусть: . Проинтегрировав (*), получим: . (3) Продифференцировав соотношение (3) по x, получаем (*) , то есть интегральное уравнение (3) эквивалентно дифференциальному уравнению (*) с соответствующими начальными условиями.

б) Пусть непрерывная функция, определенная на . Причем график этой функции целиком расположен в открытом множестве Г. Точка ,тогда воспользуемся правой частью тождества (3) и поставим в соответствие некоторую функцию , которая также определена на и (4) График в общем случае может и не принадлежать открытому множеству Г. Такая запись позволяет рассматривать правую часть (4) как оператор, который ставит в соответствие , то есть . (5)

Рассмотрим интегральное уравнение (3) и перепишем его в виде

. (6)

в) Последовательность непрерывных функций , (7) заданных на отрезке будет сходиться равномерно, если

, (8) причем -сходящийся ряд .

Сущность метода последовательных приближений (метод Пикара).

Строится последовательность функций , все эти функции непрерывны и определены на , точка . Каждая функция (7) определяется через предыдущую

, i=0,1,… (9)

Если график функции , то функция определяется по формуле (9) . Для того чтобы могла быть определена функция нужно чтобы график функции . Это требование можно выполнить, выбрав достаточно малым. За счет уменьшения длины можно добиться того, чтобы для последовательности (7) выполнялось соотношение:

, где . (10) Тогда , то есть функциональная последовательность (7) будет равномерно сходиться, и её предел будет удовлетворять соотношению (5). Метод сжатых отображений

Выберем некоторое семейство функций , заданных на , причем . И график функции из принадлежит множеству Г. Пусть в отношении оператора А семейство удовлетворяет условиям:

1.Применяя оператор А к любой функции из семейства , мы получаем функцию из .

2.Существует число , что для любых двух функций из семейства выполняется: . В этом случае оператор А будет сжатием. Если для выполняется условие 1 и 2, то исходя из некоторой функций , мы можем получить бесконечную последовательность функций (7) с помощью формулы (9). Эти функции удовлетворяют всем условиям и сходятся к решению уравнения . Доказательство существования решения

Пусть задано открытое множество Г и . Выберем в Г прямоугольник П с центром в точке . Сторона прямоугольника 2а. Это означает, что точки принадлежащие П, будут удовлетворять условию . (11)

П- замкнутое множество, содержащиеся в Г, и непрерывные функции ограничены на П: . (12) Рассмотрим в П более узкий прямоугольник (13)

Обозначим семейство функций непрерывных и заданных на . При этом графики функций принадлежат , то есть функции определенные на этом отрезке, будут принадлежать , если . (14)

Выберем r таким образом, чтобы выполнялись условия:

1. Если функция принадлежит , то и .

2. Найдется такое число , что для любых функций . (15)

Для того чтобы функция , необходимо и достаточно, чтобы для неё выполнялось условие (14). Воспользовавшись соотношением (4) и (14), получим: , то есть при (16) функция и условие 1 выполнено. Рассмотрим две любые функции, принадлежащие : тогда

Воспользовавшись теоремой о среднем, получим: , - точка, в которой достигается максимум разности . Тогда: , если , то функции будут удовлетворять условию 2. Так как , то . (17)

Если число удовлетворяет условиям (13),(16) и (17) , то для семейства непрерывных функций будут выполнены условия 1,2.

В дальнейшем будем предполагать, что при выборе числа r условия (13),(16) и (17) выполнены. Построим последовательность , При этом , (18) . Поскольку ,то и все функции (7) будут принадлежать по условию 1. Оценим В силу второго пункта последовательность (7) равномерно сходится на отрезке к некоторой непрерывной функции , и так как все ,то и . Покажем, что эта функция будет удовлетворять условию . Рассмотрим последовательность функций . Эта последовательность будет равномерно сходиться к некоторой функции . Переходя к пределу, получим, что выполняется условие (6). Таким образом, существование решения уравнения (1), удовлетворяющее условию (2), - доказано. При этом мы получили, что решение определено на , где r- любое число, удовлетворяющее условиям (13),(16),(17).