Доказательство единственности решения

Пусть и два решения (1) с общими начальными условиями .Этот интервал является пересечением интервалов, на которых существуют данные решения. Точка - принадлежит данному интервалу. Покажем, что если эти решения совпадают в некоторой точке , то они будут совпадать и на интервале , где r достаточно малое положительное число. Будем считать , тогда точка с координатами может играть роль начального значения для функции . Поэтому, не нарушая общности, предположим, что совпадает с . Перейдем от дифференциальной постановки к интегральной: . (19) Рассмотрим прямоугольник с центром в точке . А затем более узкий прямоугольник . При этом будем считать, что r удовлетворяет (13),(16),(17). Этот значит, что функции удовлетворяют условию (14). Рассмотрим на отрезке , на этом отрезке они принадлежат , тогда , а это возможно только когда . Покажем, что наши функции будут совпадать на всём интервале. Предположим, что существует такая точка , в которой функции не совпадают , (для определенности). Обозначим через _N множество всех точек отрезка , для которого . И покажем, что это множество замкнуто. Пусть дана последовательность . В силу непрерывности . То есть точка тоже принадлежит множеству _N. Обозначим через , так как - замкнуто, то должна лежать левее , но тогда, по доказанному выше, должны совпадать на и, следовательно, точка не может быть . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему

8 Понятие решения в параметрическом виде. Интегрирование уравнений .

Если уравнение второй степени относительно , то оно имеет два решения относительно : и , непрерывных относительно и в некоторой области, а геометрически определяет в любой точке этой области два направления интегральных кривых. Такие дифференциальные уравнения , кроме общего интеграла и частных интегралов, иногда имеют еще и особый интеграл, не содержащий произвольной постоянной и в то же время не получающийся из общего ни при каком значении постоянной. Особый интеграл, если он существует, можно получить, исключив из уравнений и или же исключив из общего интеграла и . Геометрически особый интеграл определяет огибающую семейства интегральных кривых.

2°. Уравнения вида f(y,y')=0 и f(x,y')=0

Если уравнения и легко разрешимы относительно , то, разрешая их, получим уравнения с разделяющимися переменными. Рассмотрим случаи, когда эти уравнения не разрешимы относительно . А. Уравнение вида разрешимо относительно :