Неоднородность в распределении удельного сопротивления

Практически любой полупроводниковый образец обладает некоторой неоднородностью в распределении удельного сопротивления. Измеренное на неоднородном образце значение удельного сопротивления характеризуется эффективным удельным сопротивлением _эф и представляет собой значение, усредненное по некоторой области образца. Интерпретация результатов измерений эффективного удельного сопро­тивления на неоднородном образце, т.е. нахождение соотношения ме­жду эффективным и действительным или средним значением удельного сопротивления, предполагает значение конкретной функции  (x,y,z) и требует выполнения соответствующих теоретических расчетов. Решение этой задачи в аналитической форме возможно для простых одномерных случаев: линейного, экспоненциального и периодического распределе­ния удельного сопротивления. В ряде практически важных случаев для образцов с одномерной неоднородностью, а именно: для диффузионных, эпитаксиальных и ионно-легированных слоев, распределение удельного сопротивления по толщине слоя измеряют с помощью последователь­ного удаления слоев.

В объемных образцах наиболее часто встречаются локальные флу­ктуации удельного сопротивления распределенные по объему образца и обусловленные флуктуациями концентрации и подвижности носителей заряда. Если линейный размер локальных неоднородностей превышает длину свободного пробега носителей заряда и дебаевскую длину экра­нирования, но мал по сравнению с геометрическими размерами образ­ца, то эффективная удельная проводимость _эф связана с ее средним значением  соотношением.

(1.1)

Второе слагаемое в квадратной скобке представляет собой локальное среднеквадратическое отклонение удельной проводимости от ее среднего значения . Из (1.1) следует, что измеряемое значение удельной проводимости отличается, от ее среднего значения.

Четырёхзондовый метод измерения.

Четырехзондовый метод измерения удельного сопротивления полупроводников является самым распространенным. Кроме высоких метрологических показателей преимущество четырехзондового метода состоит в том, что для его применения не требуется создания омических контактов к образцу, возможно измерение удельного сопротивления объемных образцов самой разнообразной формы и размеров, а также удельного сопротивления слоев полупроводниковых структур.

Рассмотрим теоретические основы четырехзондового метода изме­рения удельного сопротивления применительно к образцу, представля­ющему собой полубесконечный объем, ограниченный плоской поверх­ностью.

На плоской поверхности образца вдоль прямой линии размещены четыре металлических зондов с малой площадью соприкосновения, расстояния между которыми s₁, s₂, s₃. Через два внешних зонда 1 и 4 пропускают электрический ток I₁₄, на двух внутренних зондах 2 и 3 измеряют разность потенциалов U₂₃ . По измеренным значениям разности потенциалов между зондами 2 и 3 и тока, протекающего через зонды 1 и 4, можно определить удельное сопротивление образца.

Чтобы найти аналитическую связь между удельным сопротивлением , током I₁₄ и напряжением U₂₃, необходимо сначала решить более простую задачу, связанную с протеканием тока через отдельный точечный зонд, находящейся в контакте с плоской поверхностью полупроводникового образца полубесконечного объема.

Так как пространственное распределение электрического потенциала U(r) в образце имеет сферическую симметрию, то для его определения достаточно решить уравнение Лапласа в сферической системе координат, в котором оставлен лишь член, зависящий от r,

при условии, что потенциал в точке r = 0 положителен и стремится к нулю при очень больших r. Интегрирование этого уравнения с учетом указанных граничных условий позволяет получить следующее решение:

.

Константу интегрирования можно вычислить из условия для напряженности электрического поля  при некотором значении r = r₀.

Так как плотность тока, протекающего через полусферу радиусом r₀,

,

а в соответствии с законом Ома

, то .

Окончательно получим

(2)

Очевидно, что распределение потенциала будет таким же, когда форма контакта зонда с поверхностью образца имеет вид полусферы конечного диаметра.

Пусть радиус, контакта равен r₁. Тогда электрическое напряжение на образце равно электрическому потенциалу зонда:

(3)

Из сравнения напряжения на приконтактном слое толщиной r₂-r₁

и напряжения на образце (3) следует, что основное измерение потенциала происходит вблизи зонда. Например, при r₂=10r₁ напряжение на образце превосходит напряжение на слое толщиной r₂-r₁ всего лишь на 10%. Это означает, что значение протекающего через зонд тока определяется главным образом сопротивлением приконтактной области, протяженность которой тем меньше, чем больше радиус контакта.