19. Клеро теңдеуі
(1)
түріндегі теңдеуді Клеро теңдеуі деп атайды. Мұнда теңдеу туынды туынды бойынша емес, бойынша.
Клеро
теңдеуін параметр енгізіп шығарамыз.
параметр
және
Клеро
теңдеуін дифференциалдаймыз.
(2)
(2)- бірінші теңдеудің жалпы шешімі.
2)
(3)
бұл
жүйе
параметрі бойынша жазылған Клеро
теңдеуінің жалпы шешімінің ораушысы
болады.
Сондықтан бұл қисық Клеро теңдеуінің ерекше шешімі болады.
Нұсқау:
жалпы шешім.
Осы
жүйеден
-ны
жоямыз, сонда ерекше шешім шығады.
Ерекше шешім дегеніміз – жалғыздық шарты бұзылған шешімді айтамыз.
25.Жоғарғы ретті, біртекті сызықты диф.Теңдеу. Вронскиан және оның қасиеттері.
Вронскиан
Вронскианның қасиеттері:
Егер
сызықты тәуелді болса, онда Вронскиан
0-ге тең.Егер
біртекті теңдеуінің шешімдері болса
және сызықты тәуелсіз болса, онда
Вронскиан 0-ге тең емес.
Егер
болса, бұдан келіп шығады
сызықты тәуелді.Егер біртекті теңдеудің шешімдері болса, яғни қандай да бір нүктеде
болса
сызықты
тәуелсіз.
Мысалы:
sinx, cosx
27. Коэф-рі тұрақты, сызықты біртекті диф-дық теңдеу. Эйлер әдісі сипаттауыш теңдеу.
біртекті
коэф-рі тұрақты біртекті
-ретті
сызықты теңдеу. Олар берілген нақты
сандар. Мұнда теңдеудің белгісіз
.
Бұл біртекті теңдеу толық шешіледі.
Эйлер әдісімен шешімін табамыз.
-
әзірше белгісіз тұрақты.
,
…..
(1)-ші теңдеуді апарып қоямыз.
(2)
теңдеудің
шешімі болу үшін тепе-теңдікке айналдыру
қажет.
(2) біртекті теңдеудің характеристикалық немесе сипаттауыш теңдеу д.а.
функциясы
біртекті теңдеудің шешімі болу үшін
саны характеристикалық теңдеудің түбірі
болу керек.
28. Коэф-рі тұрақты, сызықты біртекті диф-дық теңдеу. Жай түбірлер.
Характеристикалық теңдеудің әртүрлі -түбірі бар.
Бұл
кезде
біртекті
теңдеудің фундаментальді шешімі болады.
Егер түбірлердің бәрі нақты сандар болса, онда бұл нақты фундаментальді шешулер системасы болады.
–біртекті
теңдеудің жалпы шешімі.
Мысалы:
30.Бірінші ретті квази сызықты дербес туындылы диф-дық теңдеу. Коши есебі.
Келесі теңдеу:
(1)
Квазисызықты деген сөз- жоғары ретті туындылары бойынша біздің жағдайда бірінші ретті туындылар бойынша, яғни олар бірінші дәрежеде енеді дегенді білдіреді.
-
тәуелсіз
айнымалылар.
теңдеу
коэф-рі деп аталады және олар берілген
белгілі функциялар деп аталады.
-
теңдеудің оң жағы немесе бос мүше д.а.
Біз коэф-р мен бос мүше үзіліссіз диф-н функциялар деп ұйғарамыз және олар бәрі бірдей бір мезгілде 0-ге тең болмайды (осы шарттар орындалса шешім табылады және жалғыз болады.)
(1)теңдеудің
шешімі келесі
айқындалмаған түрде іздейміз. Мұнда
үзіліссіз дифф-н функция және
(2) теңдіктен тәуелсіз айнымалылар бойынша толық туындыларды табамыз.
(4)-теңдеуді (1)-теңдеуге апарып коямыз.
(6)-теңдеу
функциясы
бойынша біртекті, сызықты дербес туындылы
диф-қ теңдеу. Бұл теңдеуге сәйкес
симметриялық жүйе.
(7)-симметриялық жүйенің интегралдарын тауып, Квази сызықты (1) теңдеудің шешімін айқындалмаған түрде табамыз.
Коши есебі:
-
берілген
алғашқы мән.
-
берілген белгілі функциялар.
(1)-теңдеудің (*) шартын қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебі д.а.