14. Туынды бойынша шешілген бірінші ретті Дт үшін Коши есебінің шешімі бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.Функционалдық тізбектің жинақтылығы.

теңдеулер.

Коши есебі

F(x,y), (x,y)€П={(x,y): }

Aн. (x, )€ П нүктелері үшін қандай да бір ∃>0 тұрақтысы мына шарт орындалса келесі теңсіздік орындалса онда f(x,y) ф-сы П төртбұрышында Липшица шартын у аргументі б/ша қанағат-ды.Ескeрту: f(x,y) ф-сы ж/е бұл ф-ның П төртұрышында үзіліссіз болса f(x,y) ф-сы у бойынша Липшица шартынқанағат-ды.

ТҺ.(1) ші (2) Коши есебінің шешімінің бар болуы ж/е жалғыздығы туралы теорема. Егер (1)-ші теңдеуде f(x,y) ф-сы келесі шарттарды қанағат-са 1) f(x,y)ϵC(П) үзіліссіз П төртбұрышында болса, 2) f(x,y) ф-сы П төртұрышында у аргументі б/ша Липшица шартын қанағат-са,онда (1)-шi теңдеудің (2)-ші алғашқы шартты қанағ-н сегментінде анықталған жалғыз шешімі табылады.

Тһ дәлелдеуі. Біз функционалдық тізбектің аралығында бірқалыпты жинақтылығын көрсетейік. Ол үшін біз келесі қатарды қарастырамыз.

бұл функционалдық қатар. Бұл қатардың бірқалыпты жинақтылығын көрсету үшін салыстыру теоремасын пайдаланамыз. Ол үшін қатардың мүшелерін бағалаймыз.

Бұл кезде шыққан сандық қатар Даламбер белгісі бойынша жинақты сандық қатар. Олай болса салыстыру теоремасы бойынша функционалдық қатары абсолютті және бірқалыпты жинақты, яғни, функционалдық тізбек бірқалыпты жинақты қатар болғандықтан аралығында үзіліссіз функция болады.

15. Туынды бойынша шешілген бірінші ретті Дт үшін Коши есебінің шешімі бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.Шешімнің табылуы.

теңдеулер.

Коши есебі

F(x,y), (x,y)€П={(x,y): }

Aн. (x, )€ П нүктелері үшін қандай да бір ∃>0 тұрақтысы мына шарт орындалса келесі теңсіздік орындалса онда f(x,y) ф-сы П төртбұрышында Липшица шартын у аргументі б/ша қанағат-ды.Ескeрту: f(x,y) ф-сы ж/е бұл ф-ның П төртұрышында үзіліссіз болса f(x,y) ф-сы у бойынша Липшица шартынқанағат-ды.

ТҺ.(1) ші (2) Коши есебінің шешімінің бар болуы ж/е жалғыздығы туралы теорема. Егер (1)-ші теңдеуде f(x,y) ф-сы келесі шарттарды қанағат-са 1) f(x,y)ϵC(П) үзіліссіз П төртбұрышында болса, 2) f(x,y) ф-сы П төртұрышында у аргументі б/ша Липшица шартын қанағат-са,онда (1)-шi теңдеудің (2)-ші алғашқы шартты қанағ-н сегментінде анықталған жалғыз шешімі табылады.

Тһ дәлелдеуі. теңдеуінен

ұмтылдырып, шекке көшейік.

–функциялар тізбегінің бірқалыпты жинақтылығы және функцияның П төртбұрышында бірқалыпты үзіліссіздігін пайдалансақ, онда келесі теңдік шығады.

яғни, - функциясы интегралдық теңдеудің шешімі екен. Біз шешімнің табылуын дәлелдедік.

16. Туынды бойынша шешілген бірінші ретті Дт үшін Коши есебінің шешімі бар болуы және жалғыздығы туралы теорема.Шешімнің жалғыздығы.

теңдеулер.

Коши есебі

F(x,y), (x,y)€П={(x,y): }

Aн. (x, )€ П нүктелері үшін қандай да бір ∃>0 тұрақтысы мына шарт орындалса келесі теңсіздік орындалса онда f(x,y) ф-сы П төртбұрышында Липшица шартын у аргументі б/ша қанағат-ды.Ескeрту: f(x,y) ф-сы ж/е бұл ф-ның П төртұрышында үзіліссіз болса f(x,y) ф-сы у бойынша Липшица шартынқанағат-ды.

ТҺ.(1) ші (2) Коши есебінің шешімінің бар болуы ж/е жалғыздығы туралы теорема. Егер (1)-ші теңдеуде f(x,y) ф-сы келесі шарттарды қанағат-са 1) f(x,y)ϵC(П) үзіліссіз П төртбұрышында болса, 2) f(x,y) ф-сы П төртұрышында у аргументі б/ша Липшица шартын қанағат-са,онда (1)-шi теңдеудің (2)-ші алғашқы шартты қанағ-н сегментінде анықталған жалғыз шешімі табылады.

Тһ дәлелдеуі. Бұл шешімнің жалғыз екенін дәлелдейік. Қарсы жорып, 2 шешім табылсын дейік.

онда,

қайшылыққа келдік.

; ; :

Олай болса, біздің 2 шешім табылыды деген жорамалымыз дұрыс емес, табылатын Коши шартын қанағаттандыратын шешім біреу ғана. Теорема дәлелденді.

Анықтама: егер Д жиыны ондағы кез-келген 2 нүктені қосатын кесіндіні де алып жатса, онда оны Д жиынын дөңес жиын д.а.

Теорема: егер 1) жиынында үзіліссіз болса, Д жиыны дөңес жиын д.а.

2) онда кез-келген жиынның ішкі нүктесі үшін (1), (2) Коши есебінің қандай да бір -нүктесінің аймағында анықталған жалғыз шешімі табылады.