Билет 7

1. Булева алгебра и отличие ее от обычной. Четыре способа задания булевой функции.

2. Суммирование многоразрядных двоичных чисел одноразрядным сумматором.

1. Булева алгебра и отличие ее от обычной. Четыре способа задания булевой функции.

Называемая в честь английского математика Дж. Буля булевой алгеброй, алгебра логики составляет теоретическую основу логики, теории алгоритмов и логического проектирования цифровых схем. От обычной, привычной для нас алгебры, булева алгебра отличается тем, что её логические аргументы (переменные) могут принимать лишь два значения. Эти значения логических переменных называют ИСТИНА(TRUE) и ЛОЖЬ(FALSE), иногда их называют ДА и НЕТ, а чаще всего их обозначают соответственно как 0 и 1. При этом следует помнить, что эти логические 0 и 1 не надо трактовать как числа, над ними нельзя производить арифметические действия. Логическая функция может быть задана четырьмя способами:

1)Словесно(описанием ситуации); 2)Алгебраическим выражением; 3)Таблицей истинности;

4)Электрической схемой, состоящей из контактов и переключателей.

2. Суммирование многоразрядных двоичных чисел одноразрядным сумматором.

Одноразрядный сумматор может быть использован для суммирования многоразрядных двоичных чисел, если они представлены последовательным кодом (см.рис.1), в котором младшие разряды следуют раньше старших. В этом случае сигнал с выхода переноса подаётся на вход переноса этого же сумматора через цепь задержки, обеспечивающую хранение бита переноса на время одного такта следования импульсов входных цифровых слагаемых. Это самый медленный способ суммирования многоразрядных чисел, но он самый экономичный по аппаратурным затратам.

Рис.1. Последовательное суммирование

Билет 8

1. 8421(Bcd) код и код Грея.

2. Полусумматор. Определение, условное графическое обозначение, схема и описание ее с помощью булева выражения и таблицы истинности.

1. 8421(Bcd) код и код Грея.

В цифровой аппаратуре, в основном при индикации показаний десятичными цифрами или при задании параметров десятичными задатчиками, широко применяются различные двоично–десятичные коды.

Самый распространенный из них BCD-код (сокращенное BINARY CODED DECIMAL, – двоично-кодированная десятичная цифра), который порой называют позиционным 8421–кодом, или натуральным двоично–десятичным кодом. В этом коде каждая десятичная цифра представляется своей отдельной тетрадой – четверкой двоичных цифр, например:

5 2 6

526₁₀ = 0101 0010 0110 _BCD.

С помощью 4-х битов можно составить 16 различных сочетаний единиц и нулей, а для десятичных цифр достаточно 10 сочетаний. 6 сочетаний избыточны, поэтому возможны различные позиционные двоично-десятичные коды. Отличаются эти коды порядком следования степеней основания в представлении десятичных цифр. Так BCD-код имеет следующие веса разрядов:

2³, 2², 2¹, 2⁰ = 8421.

В двоично–кодированных датчиках перемещения или угла поворота часто применяется код Грея (GRAY CODE). В этом коде комбинации двоичных цифр, представляющие числа соседние по величине, отличающиеся лишь в одной кодовой позиции, т.е. при последовательном переходе от одного числа к другому всегда изменяется только один из двоичных разрядов.

Число B, записанное в двоичном коде, можно преобразовать в число G в коде Грея с помощью следующего выражения:

Число G, записанное в коде Грея, можно преобразовать в число B в двоичном коде с помощью следующего выражения:

Здесь знак означает сумму по модулю два, которая равна единице, если входные слагаемые разные, или – нулю, если они одинаковые, т.е.:

Число в коде Грея можно также получить из двоичного кода следующим образом:

Обратное преобразование кода Грея в двоичный код производят по похожей схеме:

Свойство кода Грея изменяться только в одном разряде при последовательном переходе от одного числа к другому ближнему определяет его преимущество перед другими кодами при использовании этого кода для построения кодирующих дисков и пластин. Очевидно, что такое свойство кода уменьшает число переключений считывающих устройств и снижает неоднозначность считывания кода. Код Грея нельзя отнести к позиционным кодам, поскольку в нем весовые значения единиц в различных позициях нельзя однозначно определить по формуле, приведенной в начале данного раздела.

2. Полусумматор. Определение, условное графическое обозначение, схема и описание ее с помощью булева выражения и таблицы истинности.

Сумматор двух одноразрядных слагаемых называется полусумматором и обозначается HS – HALF SUM – половина суммы. Полусумматор имеет только два входа и пригоден для суммирования только одноразрядных слагаемых, и не пригоден для суммирования всех других разрядов слагаемых.

Билет 9

1. Три основные функции булева базиса. Их назначения, все обозначения, алгебраические записи, релейные схемы и таблицы истинности.

2. Суммирование многоразрядных двоичных чисел параллельным сумматором с последовательным переносом.

1. Три основные функции булева базиса. Их назначения, все обозначения, алгебраические записи, релейные схемы и таблицы истинности.

Наиболее часто встречаются следующие названия и буквенные обозначения функции И: логическое умножение, конъюнкция, совпадение, АND, И.

Возможные виды алгебраической записи функции И: F = A & B; F = A ^ B; F = A x B; F = A  B; F = AB. Контактная схема для функции И для двух переменных A и B:

Таблица истинности функции 2И: А В F –––––––––––– 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Условное графическое обозначение (УГО) в отечественных схемах логического элемента, реализующего функцию И:

В зарубежных схемах логический элемент И (AND – gate) обозначают следующим образом:

– старое обозначение:	– новое американское обозначение:	– новое европейское обозначение:

Наиболее часто встречаются следующие названия и буквенные обозначения функции ИЛИ: логическое сложение, дизъюнкция, OR, ИЛИ.

Алгебраическая запись функции ИЛИ:

F = A v B; F = A + B.

К онтактная схема для функции 2ИЛИ:

Таблица истинности функции 2ИЛИ: А В F –––––––––––– 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

Условное графическое обозначение логического элемента, реализующего функцию ИЛИ в отечественных схемах:

В зарубежных схемах логический элемент ИЛИ (OR – gate) обозначают следующим образом:

– старое обозначение:	– новое американское обозначение:	– новое европейское обозначение:

Наиболее часто встречаются следующие названия и буквенные обозначения функции НЕ: логическое отрицание, инверсия, дополнение, NOT, НЕ.

Возможные виды алгебраической записи функции НЕ:

F =  A; F = A , F =A.

К онтактная схема для функции НЕ:

Таблица истинности функции НЕ: А F ––––– 0 1 1 0

Условное графическое обозначение (УГО) логического элемента, реализующего функцию НЕ в отечественных схемах:

В зарубежных схемах логический элемент НЕ (NOT) обозначают следующим образом:

– старое обозначение:	– новое американское обозначение:	– новое европейское обозначение: