2. Относительные поверхности, используемые при построении карт. Географическая сетка, ее составные части и их определение.

Положение любой точки на эллипсоиде определяется географической широтой (φ) и долготой (λ). Общие уравнения картографических проекций: x=f1 (φ, λ); y= f2 (φ, λ) (1), где φ и λ – географические координаты некоторой точки на картографируемой поверхности; х и y – прямоугольные координаты изображения этой точки на плоскости в проекции, определяемой функциями f1 и f2 при условии, что эти функции однозначны и непрерывны (вместе со своими частными производными). Свойства проекции зависят от свойства и характера функций f1 и f2. Этих функций может быть множество, поэтому картографических проекций – бесчисленное множество. Изображение линий меридианов и параллелей в проекции называется картографической сеткой. В отличие от шара эллипсоид вращения имеет несколько радиусов, наиболее важными из них являются: 1) М – радиус кривизны меридиана. М = а(1-е2)⁄ (1-е2 · sin В)3/2 , где В – геодезическая широта 2) N – радиус кривизны первого вертикала. N= а/√1-е2 ·sin2 B (первым вертикалом называется перпендикулярное к плоскости меридиана сечение). 3) R – радиус кривизны линий, образованных сечением эллипсоида всевозможными плоскостями6 проходящими через нормаль в данной точке 4) r – радиус параллели. r= N· cos B Дуги параллелей и меридианов. Параллель на эллипсоиде вращения является окружностью. Длина ее дуги (S) между двумя точками с долготами L1 и L2 равна: S=r·(L2 – L1). Меридиан представляет собой эллипс. (Вычисления его очень сложны). Для эллипсоида Красовского длины дуг меридианов от экватора до заданных параллелей (т.е. широты) в радианах вычисляются по следующей формуле: Sд.м. = 6367558,5В sinB·cosB(32005,6+134,6sin2B). А для шара (в радианах) вычисляется по формуле: Sд.м.= R·φ. Во всех случаях, когда точночть позволяет, эллипсоид или его часть заменяют поверхностью шара.

При проектировании эллипсоида на шар возникает задача выбора радиуса шара (R) и способы перехода от широт В и долгот L эллипсоида к широтам φ и долготам λ шара. Обычно эллипсоид с шаром совмещают так, чтобы совпадали их центры, ось вращения и плоскости начальных меридианов. В этом случае плоскости экваторов и всех меридианов совпадут и долготы останутся неизменными: λ= L. Следовательно, преобразованию подлежат только широты. Их значения на полюсах и экваторе не меняются, максимальные изменения наблюдаются в средних широтах. Значения сферических широт и выбор радиуса шара определяется способом отображения эллипсоида на шар (до его уменьшения, т.е. применения масштаба). Существует несколько таких способов: а) Сферическое отображение. Сферические и геодезические широты принимаются равными друг другу: λ=В. При замене планеты шаром ее радиус (R) вычисляют как среднее арифметическое R из следующих трех значений: • Радиуса шара, равному среднему из 3х полуосей эллипсоида (2-х экваториальных и 1-ой полярной) • Радиуса шара, площадь поверхности которого равна площади поверхности эллипсоида. • Радиуса шара, объем которого равен объему эллипсоида. Для Земли средний радиус шара равен 6371 км. Шар с таким радиусом очень близок к земному эллипсоиду (максимальные отклонения не более 44,8 км в районе экватора и не более 22,4 км в районе меридианов). Такие погрешности на мелкомасштабных географических картах никак не проявляются. б) Равноугольное отображение. Углы с эллипсоида переносятся на шар без искажений. В этом случае, максимальное искажение длин образуется на полюсах и составляет 0,3%. Наибольшая разность широт эллипсоида и шара наблюдается на параллели 450 и составляет 110 32,23 . Это означает, что на шаре данная параллель по сравнению с ее положением на эллипсоиде смещается к экватору примерно на 21,4 км. в) Равнопромежуточное отображение. Проектирование эллипсоида на шар может быть выполнено двояко: - с сохранением длин меридианов; - с сохранением длин параллелей. Если равны меридианы, то в случае эллипсоида Красовского R=6367 558,5 м . На мелкомасштабных картах, отображающих весь мир или значительные ее части, искажения из-за замены эллипсоида на шар пренебрежительно малы по сравнению с искажениями, образующимися при переходе от сферической поверхности к плоскости. г) Равновеликое отображение. Площади объектов на шаре равны соответствующим площадям на эллипсоиде. Радиус шара вычисляется из условия равенства плащадей поверхности шара и эллипсоида по формуле: R=a Для эллипсоида Красовского радиус такого шара составляет 6372116 м. Максимальные искажения длин и углов возникают в точках экватора. 450 параллель смещается в сторону экватора примерно на 14,3 км. Растяжения и сжатия отдельных частей изображения картографируемой поверхности в той или иной проекции неизбежно сопровождается искажением длин, площадей и углов, причем эти искажения зависят от свойств изображения. В одних случаях можно избежать искажений углов, в других – искажений площадей, но никогда не избежать искажений длин (они могут отсутствовать только в отдельных точках или на некоторых линиях карты).

---------------------------------------------------------------------------------------------------------