4.1.2. Определители квадратных матриц
Основные теоретические сведения
Определитель
квадратной матрицы – это число, которое
ставится в соответствие матрице.
Обозначается определитель символом
.
Правило, по которому вычисляется
определитель, и служит определением
этого понятия.
1. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число, которое вычисляется по следующему правилу:
.
2. Определителем квадратной матрицы третьего порядка называется число, которое вычисляется по «правилу треугольников» ( правилу Саррюса):
.
Для запоминания правила можно использовать схемы, которые показывают, какие произведения, стоящие в правой части, берутся со знаком «+» (левая схема), а какие –со знаком « – » (правая схема).
Ч
тобы
дать определение определителя матрицы
-ого
порядка, введем некоторые новые понятия,
касающиеся матрицы.
Минором
элемента
матрицы
-ого
порядка
называется
определитель матрицы, полученной из
данной матрицы вычеркиванием
-ой
строки и
-ого
столбца (т.е. строки и столбца, на
пересечении которых стоит элемент
).
Алгебраическим
дополнением
элемента
матрицы
-ого
порядка
называется минор
этого
элемента, взятый со знаком
:
.
3. Определителем квадратной матрицы -ого порядка называется число, которое равно сумме произведений элементов любой строки (или столбца) матрицы на их алгебраические дополнения:
,
–номер
строки.
Сформулированное правило называется правилом Лапласа разложения определителя по элементам строки или столбца.
Из правила Лапласа следует, что определитель треугольной матрицы
и, в частности,
матрицы диагональной, равен произведению
ее диагональных элементов:
.
Некоторые свойства определителей
Определитель не меняется при транспонировании матриц.
Определитель меняет свой знак при перестановке любых двух строк (столбцов) матрицы.
Определитель равен нулю, если: а) все элементы какой-либо строки или столбца равны нулю, б) элементы любых двух строк (или столбцов) пропорциональны или равны.
Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на число.
Понятие определителя позволяет разбить множество всех квадратных матриц на два класса: вырожденные матрицы и матрицы невырожденные.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен 0, в противном случае она называется вырожденной.
Также понятие определителя позволяет сформулировать критерий существования обратной матрицы для заданной квадратной матрицы.
Обратная матрица
для заданной матрицы
существует тогда и только тогда, когда
исходная матрица невырожденная, то есть
когда
.
В этом случае правило отыскания выглядит следующим образом:
,
где
– присоединенная матрица.
Элементами присоединенной матрицы являются алгебраические дополнения элементов матрицы, транспонированной к матрице .
Задачи
16.
Вычислите определители .1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
,
7)
,
8)
,
9)
,
10)
,
11)
.
17. Вычислите определители 4-ого порядка:
1)
,
2)
,
3)
,
4)
.
Найдите обратную матрицу, используя понятие алгебраического дополнения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Найдите обратную матрицу двумя способами:
1)
,
2)
,
3)
.
Решите уравнения:
1)
=0,
2)
=0,
3)
.
21.
Решите уравнение
:
1) если
,
;
2) если
,
.
22. Решите
уравнение
, если:
1)
,
,
2)
,
.