4.4.Системы линейных уравнени

Тема «Системы линейных уравнений» является одной из основополагающих в курсе высшей математики, который изучается почти на всех направлениях высшего образования. К решению систем линейных уравнений приводят многие задачи не только математических дисциплин, но и других областей знаний. Особенно это относится к моделированию экономических процессов и явлений. Некоторое представление о применении систем дает следующая схема.

Схема 1

4.4.1. Понятие системы линейных уравнений и её решения

Определение 1. Системой линейных уравнений с переменными называется система вида (1)

где – заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, числа – свободными членами, число – это число уравнений в системе.

Коротко систему (1) можно записать в виде ,

Для каждой системы линейных уравнений определены 2 матрицы:

а) основная – матрица коэффициентов при переменных:

и б) расширенная матрица .

Примеры.

1. ; система из трех уравнений с четырьмя переменными.

2. , система из трех уравнений с тремя переменными.

Определение 2. Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор чисел , при подстановке которых в систему вместо переменных каждое из её уравнений обращается в верное числовое равенство (предикат обращается в истинное высказывание).

Так для первой из систем решением является набор чисел , и этот набор есть не единственное ее решение. Попробуйте найти другие ее решения. Вторая система имеет единственное решение .

4 .4.2. Виды систем линейных уравнений Однородная система линейных уравнений

Теорема. Общее решение всякой неоднородной системы линейных уравнений есть сумма соответствующей ей однородной системы и какого-нибудь частного решения этой неоднородной системы.

Классификация систем по множеству решений.

Подчеркнем, что совместная система линейных уравнений может иметь или единственное решение, или бесконечно много решений. Никаких других вариантов решений быть не может.

Примеры. 1) ; 2) ; 3) .

Здесь первая система совместна и имеет единственное решение, вторая система равносильна одному уравнению, она совместна и имеет бесконечно много решений, третья система решений не имеет: она несовместна. Чтобы это объяснить, вспомните школьную тему «Взаимное расположение прямых линий на плоскости».

Решить систему – это значит найти все её решения или доказать, что решений нет.

4.4.3. Методы решения систем линейных уравнений

,

1. Метод Гаусса

Это метод последовательного исключения переменных с целью приведения системы к виду, при котором каждое уравнение содержит переменную, отсутствующую во всех остальных.

Этот метод впервые был описан К. Гауссом (1777 – 1855) в 1849 году¹. Однако следует заметить, что прием решения системы из n линейных уравнений с n переменными по существу совпадающий с методом Гаусса, был разработан в Древнем Китае ещё до нашей эры. Он изложен в восьмой книге анонимной древнекитайской «Математики в девяти книгах» и назван правилом «Фан-чэн». Своеобразие правила «Фан-чэн» составляет техника вычислений, проводившихся на специальной счетной доске².

В основе метода Гаусса лежат элементарные преобразования системы:

1) перестановка уравнений в системе;

2) удаление из системы уравнения вида .

3) Сложение уравнения с другим уравнением, умноженным на любое число .

Идея метода Гаусса состоит в том, чтобы, используя элементарные преобразования, привести систему к такому виду, при котором каждое ее уравнение содержит переменную, которой нет ни в каком из последующих уравнений или ни в каком другом уравнении. Матрицы системы после всех преобразований будут соответственно выглядеть следующим образом:

(1) или . (2)

Замечания:

1. Здесь , так как в процессе преобразований уравнения вида вычеркиваются.

2. Если в процессе преобразований системы появляется уравнение , то система решений не имеет.

Исследование и запись решения системы.

В процессе приведения системы к видам (1) или (2) могут представиться следующие случаи:

1) Число уравнений в преобразованной системе равно числу переменных . Тогда в случае (2 ) , и система имеет единственное решение .

2) Число уравнений в преобразованной системе меньше числа переменных: .

Тогда для случая (2) и система имеет бесконечно много решений, которые записываются следующим образом:

Эти решения называются общим решением системы; общее решение записывают еще как множество:

Решение системы, которое получается из общего, если свободным переменным придать конкретные числовые значения, называется частным решением системы.

Итак, если положить, что , то решение является частным решением системы.

Вычисление коэффициентов системы, которая получается после исключения какой-то переменной из всех уравнений, кроме одного, можно производить по определенному правилу, которое получило название правила Жордана – Гаусса.

Правило Жордана – Гаусса исключения переменной

из всех уравнений, кроме одного

Пусть в матрице коэффициентов системы коэффициент . Тогда исключим переменную из всех уравнений

( ), кроме уравнения с номером р. Для этого уравнение с номером p разделим на и получим следующие коэффициенты в этой строке

. Другие коэффициенты находятся по формулам:

Расчет по последней формуле удобно производить, пользуясь мнемоническим «правилом прямоугольника», наглядно показанным на рисунке 1.

З аменяемый эл-т
				i-ая строка
		+ -
				p-ая строка
	k-ый столбец		q-ый столбец	Разрешающий эл-т

Рис. 1

Задачи

38. Решить систему методом Гаусса без применения правила Жордана- Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы. Для вычислений удобнее, чтобы . Поэтому поменяем местами первую и вторую строки, после чего получим матрицу: . Умножим элементы первой строки на и на и прибавим их соответственно к элементам второй и третьей строк, чтобы под элементом в первом столбце получилась «ступенька» из нулей . Теперь умножим третью строку на и поменяем местами ее со второй строкой: . Теперь умножим вторую строку на 9 и прибавим ее к третьей строке: . Матрица системы приведена к ступенчатому виду. Соответствующая ей система имеет вид Из последнего уравнения находим . Подставляя во второе уравнение, найдем . Из первого уравнения вычисляем : .

Ответ: (1, 0, -2).

39. Решить систему методом Гаусса с применением правила Жордана- Гаусса:

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы:

.

Так как , то будем исключать переменную из всех уравнений, кроме первого. По правилу Жордана-Гаусса первая строка остается неизменной, в первом столбце все элементы, кроме , равны 0. Элементы второй строки , , , считаются следующим образом: , , , .

Аналогично находим элементы третьей строки: , , , . Таким образом получаем матрицу

.

В этой матрице . Поэтому исключим переменную из всех уравнений, кроме второго. Согласно правилу Жордана-Гаусса, вторая строка остается неизменной. Элементы второго столбца, за исключением элемента , равны нулю, а все остальные элементы вычисляются по мнемоническому правилу (см. рис.1 выше): , , , , , . Теперь имеем матрицу . Вычеркиваем нулевую строку и получаем матрицу системы, в которой содержится только в первом уравнении, а – только во втором: .

Переменные и будут свободными, а и через них выражаются: , . Общее решение системы имеет вид:

2. Правило Крамера

Применяется в случае, когда и . Решение находится по формулам ,

где – матрица, полученная из основной матрицы заменой -ого столбца на столбец свободных членов .

Задача 40. Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера.

Решение 2.1. Определитель следоательно, согласно правилу Крамера система имеет единственное решение. Вычислим определители матриц, полученных из матрицы заменой соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов:

, , .

Теперь по формулам Крамера:

, , .