61 Система уравнений Максвелла.
Получив ток смещения, Максвелл написал полную систему уравнений электродинамики. Хочу отметить, что современную форму этим уравнениям придал выдающийся самоучка Хевисайд, никогда не учившийся в университете, но в конце концов принятый в Британское Королевское общество.
Система выглядит так:
|
(2.1) |
уравнение электромагнитной индукции. |
(2.2) |
теорема Гаусса для электрического поля. |
(2.3) |
теорема Гаусса для магнитного поля. |
(2.4) |
.
В дифференциальной форме:
|
(2.1а) |
уравнение электромагнитной индукции. |
(2.2а) |
теорема Гаусса для электрического поля. |
(2.3а) |
теорема Гаусса для магнитного поля. |
(2.4а) |
.
Кроме этого, в систему входит уравнение закона сохранения заряда
|
|
И уравнения связи:
,
,
.
62 Следствия из уравнений Максвелла.
Когда поля стационарны, то уравнения Максвелла разделяются на две системы. Первая система содержит только электрические величины и описывает электростатику
,
.
Вторая система содержит только магнитные величины и описывает магнитостатику
,
.
Поля в первой системе задаются только электрическими зарядами, во второй — токами проводимости.
63 Электромагнитные волны.
Другое следствие получится, если исключить из уравнений заряды и токи. То есть рассматриваются только электрические и магнитные поля вдали от их источников. В этом случае решение полной системы уравнений приводит к электромагнитной волне. Уравнения плоской волны выглядят следующим образом:
в случае распространения волны в одном направлении — вдоль оси . В случае трех координат эти уравнения преобразуются к следующему виду:
Здесь
—
оператор Лапласа. Скорость электромагнитной
волны, как следует из уравнений,
равна
.
Здесь
— скорость волны в вакууме, которая совпадает со скоростью света, ранее полученной из астрономических данных. Поэтому было естественно предположить, что свет — электромагнитная волна. Эксперименты подтвердили это предположение.
Электродинамика получила множество практических применений. Телеграф, телефон, радио, телевидение. Кроме этого, все электрические машины, турбины на электростанциях, лампы накаливания и так далее связаны с электричеством и магнетизмом. И все это было изобретено примерно за 1,5 века.
Физики для своих исследований создали мощные установки, называющиеся ускорителями элементарных частиц. Их работа также основана на электродинамике, то есть на уравнениях Максвелла.
БОНУС!! Закон Ома и закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.
Будем рассматривать классическую теорию тока в металлах. Предположим, что электроны внутри металла представляют собой идеальный газ. Расчет средней скорости хаотического движения в таком газе приводит к величине
.
Пусть теперь к металлу, т.е. к газу электронов приложено электрическое поле. Электрон приобретает ускорение в направлении поля
.
Это равноускоренное движение происходит до столкновения с ионами решетки. Электрон отдает всю свою накопленную энергию решетке, теряет скорость в направлении поля, а затем вновь ускоряется. Время ускорения можно вычислить по формуле
,
где
—
средняя длина свободного пробега.
Средняя скорость движения электронов
в направлении поля равна
Переходя к плотности тока, получаем
.
Это закон Ома в дифференциальной форме.
Отсюда проводимость равна
.
Энергия, которую отдал электрон иону, в конце концов превращается в тепло. Отсюда формула для дифференциального закона Джоуля-Ленца
.
Оба полученных закона легко преобразуются в случае тонких проводов в обычные интегральные законы:
и
.
Полученные законы правильны по форме. Но выяснение зависимости проводимости проводников от температуры приводит к несовпадению в экспериментом. Правильную зависимость от температуры дает квантовая теория.