19 Механика абсолютно твердого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Момент инерции.

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения. Если (см. рисунок) МТ вращается по окружности радиуса , то момент ее импульса относительно оси вращения  равен . Пусть  — угловая скорость вращения, тогда , и, следовательно, . Если вокруг оси  вращается система МТ с одной и той же угловой скоростью , то , где суммирование производится по всем МТ системы. Величину  можно вынести из-под знака суммы. Тогда

,

где

.

Величина , равная сумме произведений масс МТ на квадраты их расстояний до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси.

Уравнение моментов в случае вращения относительно неподвижной оси теперь выглядит так:

,

где  — момент внешних сил относительно оси вращения. Это основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно похоже на уравнение Ньютона для движения МТ. Роль массы играет момент инерции , роль силы — момент силы , роль импульса  — момент импульса .

Если момент внешних сил  относительно оси вращения равен нулю, вращательный импульс  сохраняется.

Важным частным случаем является вращение неизменяемой системы МТ или твердого тела относительно неподвижной оси. В этом случае момент инерции  при вращении остается постоянным и уравнение переходит в

.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде

.

Эти выражения тоже похожи на соответствующие выражения для МТ.

 

20 Теорема Гюйгенса-Штейнера. Вычисление моментов инерции. Примеры.

Найдем связь между моментами инерции относительно двух параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекают ее в точках  и . Разобьем мысленно тело на элементарные массы . Радиус-векторы одной из них, проведенные от осей  и  параллельно плоскости рисунка обозначим через  и  соответственно. Элементарная масса  тоже лежит в плоскости рисунка. Тогда , где  означает радиус-вектор . Следовательно, ,

Интеграл слева есть момент инерции  тела относительно оси , первый интеграл справа — момент инерции  относительно оси . Последний интеграл можно представить в виде , где  — радиус-вектор центра масс  тела относительно оси . Таким образом,

.

Допустим, что ось  проходит через центр масс  тела. Тогда , и формула принимает вид

.

Это соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера.

Вычислим моменты инерции некоторых тел.

а. Бесконечно тонкий однородный стержень длиной  и массой . Момент инерции относительно оси, проходящей через центр инерции перпендикулярно к стержню равен

,

а относительно оси проходящей через конец стержня равен

.

б. Бесконечно тонкое круглое кольцо (окружность). Момент инерции относительно оси  равен

 

,

где  — радиус кольца.

 

 

 

 

в. Бесконечно тонкий однородный диск и сплошной цилиндр.

Момент инерции относительно оси, перпендикулярной основанию цилиндра (диску) через центр инерции равен

.

 

г. Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками относительно оси, проходящей через центр инерции, равен:

.

д. Момент инерции сплошного однородного шара с относительно оси, проходящей через центр инерции, равен:

.