1.3. Поняття алгебричної структури

Визначення 1.3. Алгебричною структурою називають алгебру, операціями якої є одна чи дві бінарні операції і довільна кількість унарних операцій (хоча унарних операцій може й не бути).

Операції алгебричної структури мають задовольняти певні аксіоми (властивості). Залежно від кількості операцій і виконання певної сукупності аксіом розрізняють різні алгебричні структури. Ми ознайомимося з такими алгебричними структурами, як півгрупи, моноїди, групи, кільця, поля. Ця класифікація є основною не тільки для вивчення лінійної алгебри, теорії матриць, обробки числових масивів, але є також базою вивчення алгебри логіки, зокрема алгебри Буля й алгебри Жегалкіна.

1.4. Властивості бінарних операцій

Нехай на множині A визначено дві бінарні операції і .

Операції і комутативні, якщо a b=b a, a b=b a .

Операції і асоціативні, якщо , .

Якщо для будь-яких виконується рівність , то бінарна операція дистрибутивна відносно операції .

Приклад 1.4. а) На множині дійсних чисел R звичайне додавання (+) є комутативною й асоціативною операцією, а операція віднімання (–) — не комутативна й не асоціативна: , але ; , але . Також на множині R бінарна операція множення ( ) дистрибутивна відносно додавання (+), проте додавання не дистрибутивне відносно множення: , але .

б) В алгебрі множин операції об’єднання ( ) й перетину ( ) комутативні: , , асоціативні: , і дистрибутивні одна відносно одної: , .

Одиницею (або одиничним елементом) для бінарної операції (чи для операції ) на множині A називають такий елемент , що для будь-якого виконується рівність:

(чи ),

якщо такий елемент e існує.

Приклад 1.5. а) Якщо на множині дійсних чисел R бінарна операція є множенням ( ), то , а для звичайного додавання (+) .

б) В алгебрі множин для бінарної операції об’єднання ( ) , а для операції перетину ( ) — .

Нехай операція на множині з одиницею і два елементи , задовольняють рівності a₁ b₁=b₁ a₁=e₁. Також нехай операція на множині з одиницею і два елементи , задовольняють рівності . Тоді називають оберненим елементом до відносно операції (а — оберненим елементом до ). Відповідно, називають оберненим елементом до відносно операції (а — оберненим елементом до ).

Приклад 1.6. Якщо на множині дійсних чисел R бінарна операція є звичайним додаванням (+), то для будь-якого елемента оберненим буде елемент ( ), а якщо бінарна операція є операцією множення ( ), то для елемента оберненим буде елемент .

Нижче розглянемо класифікацію простих алгебричних структур.

1.5. Алгебричні структури з однією бінарною операцією

Найважливішими простими алгебричними структурами, які мають тільки одну бінарну операцію, є півгрупи, моноїди й групи.

Визначення 1.4. Півгрупою називають алгебричну структуру з множиною-носієм A і однією бінарною операцією , яка задовольняє тільки одну властивість — властивість асоціативності. Тобто для будь-яких виконується:

.

Приклад 1.7. Алгебрична структура — множина натуральних чисел з бінарною операцією звичайного додавання (+) є півгрупою.

Визначення 1.5. Моноїдом називають півгрупу з одиницею. Моноїд має такі дві властивості:

1) асоціативність — для будь-яких виконується рівність ;

2) існує одиничний елемент такий, що для будь-якого виконується рівність .

Одиничний елемент в моноїді — єдиний. Справді, якщо — інша одиниця моноїда, тоді:

.

Приклад 1.8. Структури , , — множини дійсних, цілих, натуральних чисел з бінарною операцією звичайного множення ( ) є моноїдами. При цьому одиничний елемент e=1.

Визначення 1.6. Групою називають алгебричну структуру з множиною-носієм G і однією бінарною операцією , замкнутою в G, яка має такі три властивості:

1) асоціативність — для будь-яких виконується рівність ;

2) для будь-якого існує одиничний елемент такий, що ;

3) для будь-якого існує обернений елемент такий, що .

Отже, група — це моноїд, у якому для кожного елемента існує обернений елемент.

Для довільного елемента х групи G існує лише один обернений елемент . Справді, якщо їх є два — і , тоді, враховуючи означення одиничного і оберненого елементів, а також властивість асоціативності, матимемо:

.

Отже, , тобто обернений елемент єдиний.

На множині дійсних чисел R, залежно від групової операції — додавання (+) чи множення ( ), групу називають адитивною чи мультиплікативною.

Визначення 1.7. Комутативну групу називають абелевою³.

Таким чином, для того щоб група була абелевою, крім вказаних в означенні групи трьох властивостей, ще має виконуватися властивість комутативності, тобто для будь-яких має виконуватися рівність .

Приклад 1.9. Абелевою групою є множина дійсних чисел R з бінарною операцією звичайного додавання (+) — . Для неї одиничний елемент , обернений елемент . Проте — множина дійсних чисел з операцією звичайного множення ( ) є моноїдом, але не групою, оскільки для елемента на множині R не існує оберненого елемента; для інших ( ) оберненими елементами є .

Приклад 1.10. Нехай — множина всіх квадратних матриць порядку n з дійсними елементами. Алгебрична структура — це комутативний моноїд, у якому одиничним елементом e є нульова матриця. Структура — некомутативний моноїд (бо ), у якому e — одинична матриця. Тут про групу не йдеться, оскільки обернена матриця не існує, якщо . На множині всіх квадратних матриць e і єдині, якщо вони існують.