62. Теорема Коши. F62

f(x) и φ(x) определены и непрерывны на отрезке (a,b) и дифринц. Во всех его внутренних точках

Пусть существует f(x) непрерывный на [a,b] и дифференцированный на всех его внутренних точках φ(х)≠0 тогда существует точка с внутри (a,b), что имеет место равенство: (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))=f’(c)/φ’(c)

Доказательст: введем вспомог ф-цию F(x)=f(x)-f(a)- (f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))*(φ(x)-φ(a,b))

Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля,она непрерывна на (а,в),тк непрерывны f(x) и φ(x),на концах отрезка ф-ция обращается в 0

F(a)=F(b)=0

Ф-ция дифференциал на (а,в) и имеет производную F’(x)=f’(x)-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))*φ’(x) ,тогда согласно теореме Ролля f’(c)-(f(b)-f(a))/(φ(b)-φ(a))

Замечание: из условий теоремы следует φ(а)≠φ(в)

Замечание 2: при φ(х)=х, получаем из частного случая формула Коши формулы Лагранжа.

63. Правило Лопиталя. F63

Теорема: Пусть функции f(x) и φ(х) определенны и непрерывны на (а,в) причем f(a)=φ(а)=0 и дифференцированы во всех точках этого отрезка, тогда если существует предел lim _x->af’(x)/φ’(x) то существует и предел lim _x->a f’(x)/φ’(x) и эти пределы равны.

Док-во: х ͼ (а,в) возьмем [a,x] и запишем формулу Коши

f(x)-f(a)/(φ(b)-φ(a))=f’(ç)/φ(ç) ç ͼ (а,х)

f(x)/φ(х)=f’(ç)/φ’(ç) x->a ç->a

lim_x->af(x)/φ(x)=lim_x->af’(x)/φ’(x)=lim_ç->af’(ç)/φ’(ç)=lim_x->af’(x)/φ’(х)

Замечание 1: Правило применяется только при неопределенностях {0/0};{∞/∞}

Замечание 2: Если после применения пр.Лопиталя неопредел сохраняется,это правило можно применить ее еще раз.

Замечание 3: Чтоб применить правило, функции f(х) и φ(х) в точке а должны быть дифференциалы.

64. Возрастающие и убывающие функции (необходимые и достаточные условия) f64

Функция f(x) называется возрастающей на (a,b) если для любых х₁,х₂ принадлежащих (a₂,b₂) есть x₁<x₂ => f(x₁)<f(x₂)

Функция называется убывающей если для любого х₁ х₂ из (a,b) x₁>x₂ => f(x₁)>f(x₂)

Если функция только возрастает или убывает то ее называют монотонной.

Теорема 1(необходимый признак возрастания функции) Если функция f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b), возрастает на этом интервале, то его производная не может быть отрицательной в любой точке.

дельта х<0 f(x+ ∆x)<f(x)

(f(x+ ∆x)-f(x))/∆x>0

∆x>0 f(x+ ∆x)<f(x)

(f(x+∆x)-f(x))/∆x>0

lim _∆х->0(f(x+ ∆x)-f(x))/∆x=f’(x)>0

Теорема 2 (необходимый признак убывания функции) Если функция f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b) убывает на интервале то его производная не может быть положительной ни в одной точке интервала

Теорема 3 (Достаточное условие возрастания функции) Если f(x) непрерывна и дифференцирована на (a,b) имеет в каждой точке этого отрезка положительные производные, то она возрастает на этом отрезке.

Док-во: f’(x)>0 x ͼ [a,b]

x₁ x₂ принадлежат (a,b) x₁<x₂

(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=f’(ç) ç ͼ (x₁,x₂)

f(x₂)-f(x₁)=f’(ç)(x₂-x₁)=0

f(x₂)>f(x₁)

Теорема 4:(достаточное условие убывания функции) Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцирована на отрезке (a,b), имеет в каждой точке этого отрезка отрицательную форму => убывает на отрезке

65. Экстремумы функции f65

Точка х₀ называется точкой макс функции если существует такая окрестность точки х₀ принадлежащей области определения функции, что для любых х из окрестности f(x)<f(x₀)

Точка х₀ называется точкой мин функции если существует такая окрестность точки х₀ в принадлежащие области определения функции: что для любого х f(x₀)<f(x)

Теорема 1: Если функция имеет в точке х₀ экстремуму, то ее производная в этой точке если она существует равна 0.

Точки в которых производная функции равна 0 или не существует называют критическими точками.

Теорема 2 (1 достаточное условие существования экстремума) Пусть х₀ критическая точка равна 0, тогда если при переходе через эту точку слева направо производная меняет знак с + на -, точка х₀ - мак, а если с - на + то х₀-мин.

Теорема 3(2ое достаточное условие существования экстремума) Пусть х₀ - критическая точка функции тогда если 1ая по счету отличной от 0 в этой точке производная имеет четный порядок, то в этой точке есть экстремума, если эта производная < 0, то макс, если > то мин. Если правая отлична от 0, производня имеет нечетный порядок, то экстремумы в этой точке нет.

66. Выпуклости и вогнутости графика ф-ций. f66

График функции имеет выпуклость на некотором интервале если в каждой точке интервала касательная проходит выше него.

График имеет вогнутость если касательная в каждой точке находится ниже ее.

Теорема (достаточное условие выпуклости/вогнутости) Пусть функция непрерывна и дважды дифференцирована на (a,b) тогда если в каждой точке этого отрезка, его 2ая производная <0, то на этом отрезке график имеет выпуклость, если >0, то вогнутость.

67. Точки перегиба графика ф-ций. f67

Точки в которых выпуклость на графике переходит в вогнутость или наоборот, называется точками перегиба.

Теорема 1 (Необходимое условие существования точек перегиба) Пусть функция имеет непрерывную 2ю производную на некотором интервале, тогда если в точке х0 из этого интервала, функция f(x) имеет точки перегиба, то 2я производная функции этой точки равна 0.

Точки в которых 2ая производная функции f’(x)=0 или не существует называется критическими точками 2го рода.

Теорема 2 (достаточное условие существования т перегиба) Если при переходе через критические точки, 2я производная меняете знак, то в критических точках график функции имеет точку перегиба.