1. Системотехническая часть

   1. Описание и анализ предметной области

      1. Классификация случайных процессов

Пусть задано вероятностное пространство — тройка (Ω, F, P ), где

Ω — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

F — сигма-алгебра подмножеств Ω, называемых (случайными) событиями;

Р — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что P(Ω) = 1 .

Пусть функция X: Ω → R, измеримая относительно F, называется случайной величиной (СВ).

Тогда параметризованное семейство {Xt}, t є T, случайных величин Xt(•): Ω → R, t є Т, где Т произвольное множество, называется случайной функцией. Если T С R, то параметр t є Т может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {X(t)} называется случайным процессом (СП). Если множество Т дискретно, например T С N, то такой СП называется случайной последовательностью.

Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

В теории СП различают стационарность в широком и узком смыслах. Данное выше определение относится к СП, стационарным в узком смысле. Когда от времени не зависят только одно- и двумерные вероятностные характеристики, СП считается стационарным в широком смысле. Если условие стационарности не выполняется хотя бы для одной вероятностной характеристики, СП называется нестационарным по этой характеристике.

2. Способы описания и задания сп

Для описания СП применяются:

законы распределения, в том числе, многомерные;

характеристические функции;

числовые характеристики;(см. пункт 1.1.4)

характеристики взаимосвязи.

В данном проекте будут рассмотрены числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсия.

Характеристическая функция – математическое ожидание комплексной СВ e^iux , рассматриваемое как функция параметра u:

φ_x(u) = M[e^iux].

Так как |e^iux| = 1 при любых действительных u и x, то в следствие основного свойства плотности вероятности характеристическая функция при любом действительном значении u не превосходит по модулю единицы и равна единице при u = 0.

Характеристическая функция и плотность распределения вероятности

СВ связана парой обратных преобразований Фурье:

Основой характеристикой взаимосвязи являются корреляционные функции.

Корреляционная функция представляет собой корреляционный момент ее значений при двух значениях аргумента t1, t2, рассматриваемый как функция:

К_х(t₁,t₂)= M [Ẋ (t₁) Ẋ (t₂)],

где Ẋ = x(t) – m_x(t), а m_x(t) – математическое ожидание СП в сечении t.

Корреляционная функция характеризует степень линейной связи между сечениями процесса. Часто вместо корреляционной функции для характеристики связи между сечениями процесса используют нормированную корреляционную функцию, которая представляет собой коэффициент корреляции значений процесса при двух значениях аргумента.

Модели нормированных корреляционных функций приведены в приложении А.

В контексте поставленной задачи будут использоваться дифференцируемые монотонная и колебательная корреляционные функции:

R_x(τ)= e^-α׀τ׀ (модель 1);

Rx(τ)= e^-α׀τ׀*(1-α τ) (модель 2);

Rx(τ)= e^-α׀τ׀*(1+α τ) (модель 3);

R_x(τ)= e^-α׀τ׀ *(cos(ω₀τ) – ^α/ ω₀*sin(ω₀τ)) (модель 7).