Аппроксимация корреляционных функций ортогональными функциями.
Одной из сложных задач, которую приходится решать при аппроксимации КФ, является выбор модели КФ. Одним из решений этой задачи является применение разложения корреляционной функции в ряд по той или иной системе ортогональных функций. Математическим обоснованием этого метода является теорема Мерсера, согласно которой симметричная и положительно определенная функция, которой и является функция корреляции, может быть разложена в равномерно и абсолютно сходящийся ряд вида:
;
где
- коэффициенты Фурье;
– семейство базисных функций,
ортонормированных в интервале (
)
с весом μ (τ).
Это семейство характеризуется интегралом:
Так как ряд сходится на интервале ( ), то коэффициенты разложения определяются выражением;
.
В качестве системы базисных функций применяются ортогональные функции Лагерра, Лежандра, Хаара и т. д. Выбор системы базисных функций зависит, в основном, от возможности представления КФ минимальным числом членов разложения для типовых моделей, удобством в работе.
В рамках курсового проекта в качестве системы базисных функций были использованы функции Якоби [-1/2;0], которые являются одной из распространенных систем ортогональных функций определяемые выражением:
.
Следует подчеркнуть, что на практике приходится ограничиваться конечным числом ряда . Это приводит к появлению методической погрешности, значение которой зависит как от свойств процесса, так и от способа оценки параметров модели.
Тогда для
модели корреляционной функции
,
имеющие ограниченное число параметров,
коэффициенты разложения, вызывающие
минимум квадратической погрешности
аппроксимации:
,
определяются
формулой:
.
При оценке коэффициентов разложения ряда, для вычисления применялся следующий метод:
Где
,
.
Для ортогонального базиса Якоби [-1/2;0]:
.
[7]
Параметры
масштаба для ортогональных функций
определяются по формулам: для 1 модели:
,
для 7 модели:
Значение
интервала дискретизации
рассчитывается .
,
где δ – заданная допустимая погрешность
- максимальное по модулю значение второй
производной соответствующей функции
В рамках поставленной задачи Значение интервала дискретизации можно рассчитать по формулам:
для
первой модели КФ
,
а для
седьмой модели КФ
Число интервалов дискретизации:
[5].
Минимальное
количество требуемых ординат корреляционной
функции
и значение интервала дискретизации
,
в зависимости от значения допустимой
погрешности представлено в приложении
Б.
Описание аналогов системы
На кафедре ИСТ СГАУ под руководством Прохорова С. А. была разработана автоматизированная информационная система для моделирования и аппроксимативного корреляционно-спектрального анализа СП. В системе реализованы следующие функции:
генерация СП с заданным видом КФ;
проверка результатов моделирования;
построение ортогональной модели КФ;
расчет числовых и вероятностных характеристик СП;
визуализация полученных результатов.
Вид экранной формы генерирования СП с заданным видом КФ и построения ортогональной модели КФ в базисе Якоби [-1/2;0] представлены на рисунках 3 – 4
Рисунок 3 – Вид экранной формы генерирования СП с заданным видом КФ
Рисунок 4 –Вид экранной формы построения ортогональной модели КФ в базисе Якоби [-1/2;0]