Гиперграфы

Гиперграф являются теоретико-множественной формой представления дифференциальных уравнений, заданных в общем случае непричинно—следственным способом [53, 54, 56, 73]. По сравнению с графом, представление модели в форме гиперграфа расширяет возможности представления многовходовых элементов, од­нако при этом теряется информация о направленности связей.

Гиперграф определяется как пара H = < X, E > образующая конечное множество X=x1,...,xn вершин и некоторое семейством E=e1,...,eq ребер - непустых частей Х, удовлетворяющих условию UE=X [67]. Одним из способов задания топологии гиперграфа [53], является матрица , где

Гиперграф является вариантом симплециального комплекса или симплециальной схемы. В ряде работ [75], вводится понятие ориентированного гиперграфа. При этом множество E - определяется как множество ориентированных ребер.

Примеры гиперграфов приведены на рис. 1.5 и рис. 1.6. Из диаграмм видно, что гиперг­раф является способом группирования зависимых переменных, без указания причинно-следственных отношений между ними.

При этом способе внутреннего представления модели в ЭВМ, также возникают проблемы при внешнем представлении Скорее можно предлагать автоматическое построение гиперграфа по введенной системе уравнений.

Лекция №10. Динамическое описание систем

Функционирование сложной системы можно представить как совокупность двух функций времени: x(t) - внутреннее состояние системы; y(t) - выходной процесс системы. Обе функции зависят от u(t) - входного воздействия и от f(t) - возмущения.

Для каждого t  T существует множество z Z.

Z=Z₁  Z₂ ...  Z_n - множество n мерного пространства. Состояние системы z(t) - точка или вектор пространства Z с обобщенными координатами z₁, z₂, z₃, z₄, ....., z_n.

U=T  Z - фазовое пространство системы.

Детерминированная система без последствий

Детерминированная система без последствий - система состояние которой z(t) зависит только от z(t0) и не зависит от z(0) ... z(t0), т.е. z(t) зависит от z(t0) и не зависит от того каким способом система попала в состояние z(t0).

Для систем без последствия еее состояние можно описать как:

z(t)= H{t,t0,z(t0), (t, x_L]_t0^t},

где {(t, x_L]_t0^t} - множество всевозможных отрывков входных сообщений, соответствующих интервалу (t0, t]. H - оператор переходов системы.

tT, t0T, z(t0) Z, (t, x_L]_t0^t {(t, x_L]_t0^t}.

Формальная запись отображения:

T  T  {(t, x_L]_t0^t}  Z.

Начальные условия H{t0, t0, z(t0), (t, x_L]_t0^t0 } = z(t0).

Если (t, x_L1]_t0^t = (t, x_L2]_t0^t, то H{t0, t, z(t0), (t, x_L1]_t0^t } = H{t0, t, z(t0), (t, x_L2]_t0^t}

Если t0<t1<t2 и t0, t1, t2  T, то H{t0, t2, z(t0), (t, x_L]_t0^t2 } = H{t2, t1, z(t1), (t, x_L2]_t1^t2}, так как (t, x_L]_t0^t2 есть сочленение отрезков (t, x_L]_t0^t1 и (t, x_L]_t1^t2.

Оператор выходов системы G реализует отношение

{(t, t0)}  Z  (t, x_L)_T}  Y,

y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, x_L2]_t0^t).

(x, y)  X  Y - расширенное состояние системы.

Динамическая система без последствий (динамическая система Кламана) -упорядоченное множество (T, X, Z, Y, {(t, x_L)_T, H, G), удовлетворяющие поставленным выше требованиям:

T является подмножеством действительных чисел.

{(t, x_L)_T}- множество отображений TX, удовлетворяющие сочленению отрезков.

Оператор переходов H реализует {(t, t0)}  Z  (t, x_L)_T}  Y.

Оператор выходов системы G задается видом y(t) = G(t, t0, z(t0), (t, x_L2]_t0^t).