2.4 Визначення відношення амплітуд приливних хвиль Сонця і Місяця на Землі

Нехай маси Сонця та Місяця відповідно дорівнюють M і m; відстань між Сонцем та Землею, між Місяцем та Землею – відповідно R і r. Яке відношення амплітуд приливних хвиль, викликаних Сонцем та Місяцем на екваторі?

Розглянемо систему Земля - Місяць. Форма поверхні води описується сферичними координатами В системі центра інерції, яка обертається з кутовою швидкістю ,

Маса води поблизу її поверхні схильна до взаємодії гравітаційних та інерційних сил, які визначаються потенціалом

Де

Щоб виразить через задані координати, зауважимо, що :

Необхідно зауважити, що вісь обертання системи Земля- Місяць та вісь обертання Землі навколо своєї вісі вважаються перпендикулярними до площини рисунка. Цей вибір призводить до того, що максимальні приливні зміни будуть з 24-годинним періодом, який визначається зміною кута .

Розрахунок амплітуди приливу виконаємо для екватора. Розкладаючи по степеням p/r , та нехтуючи членами більш високого порядку ніж (p/ ) отримуємо:

Щоб визначити p( , зауважемо, що поверхня води має будти еквіпотенціальною. Таким чином потенціал:

Потрібно прирівняти на поверхні води константа. Підставляючи p= та нехтуючи членами вищими першого порядку.

Звідси випливає:

Приливні варіації виражаються виразом:

Відношення амплітуди приливних хвиль, викликаних відповідно Сонцем та Місяцем, дорівнює:

Наявність в виразі для вказує на те, що за період 24 ч. відбувається 2 прилива.

2.5 Визначення роботи по рознесенню маси Землі на нескінченність.

Поставимо задачу: яку енергію прийшлось би використати, щоб рознести всі складові нашої Землі на нескінченність. Будемо виконувати роботу поступово видаляючи кожний шар товщиною dr ; щоб видалити такий шар на нескінченність потрібно витрати енергію (виконати роботу), що чисельно дорівнює потенціальній енергії взаємодії цього шару з масою, що зменшується але з протилежним знаком:

dA = dП = G

m =

dA =

Отже повна робота:

А =

A= Дж

Рис. Пояснення до задачі

Енергія зв’язку в Землі призводить до суттєвого виділення тіла при опусканні більш важких частин (фрагментів) ближче до центру.

На малюнку показано як змінюється потенціал поза та всередині однорідної кулі.

Значення напруженості поля на поверхні кулі радіусом R:

.

Потенціальна енергія тіла (точки) масою m дорівнює

Коли під поверхнею Землі знаходиться більш густа куля, то вона створює більшу напруженість поля гравітації. Якщо над поверхнею знаходяться рухомі частинки, наприклад рідини, то вони будуть притягатися в область над кулею до тих пір, поки їх потенціальна енергія не стане такою як у частинок які знаходяться далі від кулі. Додаткова маса m в області, де знаходиться куля визначається різницею густин кулі та навколишнього середовища та радіусом кулі R та дорівнює

Потенціал від цієї надбавки повинен дорівнювати потенціалу від перевищення на z рівня рідкого шару, товщина якого H ( коли куля знаходиться безпосередньо під рідким шаром):

Звідси знайдемо підвищення рівня.

Для потенціала, так же як і для гравітаційних сил, існує суперпозиція. Однак потенціали являються скалярними функціями і просто додаються.

Розрахуемо наприклад різницю потенціалів між поверхнями Місяця та Землі. Відстань між якими позначемо . На поверхні Місяця потенціал:

А на поверхні Землі

Робота по переміщенню одиниці маси дорівнює різниці потенціалів. Нехтуючи членами, в яких в знаменнику стоїть відстань між Місяцем та Землею, отримуємо різниці потенціалів: