6.12 Что такое сглаживание данных

Сглаживание данных: получение функции, устраняющей случайные погрешности, попавшие в экспериментальные данные.

Сглаживание данных возможно в двух вариантах: получение аналитической функции (регрессионного уравнения), позволяющей строить функцию при любых значениях аргумента и получение нового набора значений функции, более гладких, чем исходные данные, но только при исходных значениях аргумента.

Регрессионная функция является оптимальной в среднеквадратическом смысле. Графически это свойство соответствует п остроению линии визуально усредняющей экспериментальные данные.

На рисунке точками показаны экспериментальные данные, сплошной линией – функция их соединяющая, пунктирной – линия регрессии.

6.13. Что такое экстраполяция данных

Экстраполяция данных – получение значений функции или процесса вне интервалов наблюдения. Прогнозирование возможно как для значений, находящихся перед наблюдаемым интервалом, так и для значений, находящихся после него.

6.14 Что такое аппроксимация экспериментальных или табличных данных.

Аппроксимация экспериментальных или табличных данных заключается в аналитическом представлении искомой функциональной зависимости эмпирических (экспериментальных) данных, то есть в подборе формулы корректно описывающей эти данные.

6.15. В чем разница между глобальной и локальной интерполяцией

Существует глобальная и локальная интерполяция. При глобальной интерполяции интерполирование производится на всем заданном интервале [a,b], а при локальном интерполировании только по некоторому промежутку [x_i,x_i+1] в пределах этого интервала.

6.16 Что такое экстраполяция и прогноз данных.

Экстраполяция данных (прогноз данных)– получение значений функции или процесса вне интервалов наблюдения. Прогнозирование возможно как для значений, находящихся перед наблюдаемым интервалом, так и для значений, находящихся после него.

6.17 В чем состоит основная идея сплайн аппроксимации.

Наиболее современным аппаратом интерполяции являются сплайн функции.

Сплайн – многочлен, склеенный из отдельных кусков. На каждом интервале создается отдельный кусок многочлена, а в узловых точках сетки эти куски сопрягаются или склеиваются. Сплайн значительно увеличивает точность интерполяции.

6.18 Критерий метода наименьших квадратов

где n – число измерений функции y(x), в узлах x_i.

Выражение определяет разницу между исходной (табличной) и результирующей (аппроксимирующей) функциями и называется невязками.

6.19 Укажите основные показатели качества аппроксимации.

Существуют качественные и количественные показатели аппроксимации. Качественная оценка – визуальная, субъективная. Количественная – вводятся показатели точности. Пусть f(x) – истинное значение функции, не содержащее шумов. f_i=f(x_i), – измерительные шумы или погрешности. В качестве измеренной экспериментальной информации . – функция аппроксимации, которая устраняет шумы и повторяет ф-ию f(x)

Используются следующие показатели аппроксимации:

; – средняя квадратичная погрешность аппроксимации. Где n – количество измерений. Если в лабораторных условиях известно значение f_i, то ;

Чаще используют не абсолютные значения погрешностей, а их приведенные значения ;

Замечание: 1) если неизвестны значения f_max и f_min, то вместо них выбирают y_max-y_min.

2) иногда модуль разности в формулах заменяют на величину модуль среднего значения |f_ср|