2. Классификация случайных процессов

Пусть задано вероятностное пространство — тройка (Ω, F, P ), где

Ω — это произвольное множество, элементы которого называются элементарными событиями, исходами или точками;

F — сигма-алгебра подмножеств Ω, называемых (случайными) событиями;

Р — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что P(Ω) = 1 .

Пусть функция X: Ω → R, измеримая относительно F, называется случайной величиной (СВ).

Тогда параметризованное семейство {Xt}, t є T, случайных величин Xt(•): Ω → R, t є Т, где Т произвольное множество, называется случайной функцией. Если T С R, то параметр t є Т может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {X(t)} называется случайным процессом (СП). Если множество Т дискретно, например T С N, то такой СП называется случайной последовательностью.

Стационарным называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Эргодическим называется процесс, вероятностные характеристики которого не зависят от номера реализации.

В теории СП различают стационарность в широком и узком смыслах. Данное выше определение относится к СП, стационарным в узком смысле. Когда от времени не зависят только одно- и двумерные вероятностные характеристики, СП считается стационарным в широком смысле. Если условие стационарности не выполняется хотя бы для одной вероятностной характеристики, СП называется нестационарным по этой характеристике.

3. Моделирование сп

Для решения задачи моделирования ПСП с заданным законом распределения случайный процесс подвергается нелинейному преобразованию. Теоретической базой для определения вида и характеристик нелинейной функции является теория функций случайного аргумента.

Допустим, случайная величина X имеет плотность распределения вероятности , а необходимо получить выходную величину Y с плотностью распределения вероятностей . Таким образом, мы должны определить вид нелинейной функции преобразования у = g(х).

Известно, что

. (3)

Отсюда

(4)

Допустим, что обратная функция преобразования

(5)

Тогда

(6)

Если в качестве входной ПСП выбрать «белый шум» с /" , то х = {(у)=Р_у(у), (2.8)

Отсюда можно определить вид нелинейной функции преобразования

у = ₈(х)=Г;¹(х). (2.9)

4. Статистическая оценка характеристик сп

Для любой дискретной СВ X – числовая функция F(x) = Р(Х < х), -∞ < х < +∞ называется функцией распределения (ФР) этой СВ, а функция f(х) = F'(x), называется плотностью распределения или плотностью вероятности (ПВ) этой СВ.

Приведем графики возможных ФР F(x) и ПВ f(х) при равномерном законе распределения.

Рисунок 1 – Функция распределения при равномерном законе

Рисунок 2 – Плотность вероятности при равномерном законе

ФР любой случайной величины обладает следующими свойствами:

F(x) определена на всей числовой прямой R;

F(x) не убывает, т.е. если x₁ ≤ x₂, то F(x₁) ≤ F(x₂);

F(-∞)=0, F(+∞)=1, т.е. и

F(x) непрерывна справа, т.е. .

ПВ любой случайной величины обладает следующими свойствами:

плотность распределения – неотрицательная функция f(x) ≥ 0;

несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от - ∞ до +∞ равен единице:

Рассмотрим основные числовые характеристики СП.

Математическое ожидание – мера среднего значения случайной величины, определяется формулой:

Дисперсия случайной величины – мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания:

Абсолютны центральны момент k-го порядка СВ X:

Коэффициент ассиметрии – числовая характеризующая степени несимметричности распределения СВ:

Коэффициент эксцесса – числовая характеризующая степени остроты пика распределения СВ:

Для коэффициента ассиметрии и эксцесса Ẋ – среднее значение: