Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей:

1. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=0, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(0/0)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f'(x)=lim_xx0φ’(x)=0, то lim_xx0f’(x)/φ’(x)=(0/0)=lim_xx0f’’(x)/φ’’(x) при условии, что предел в правой части существует и т.д.

2. Если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части выражения существует; аналогично, если lim_xx0f(x)=lim_xx0φ(x)=∞, то lim_xx0f(x)/φ(x)=(∞/∞)=lim_xx0f’(x)/φ’(x) при условии, что предел в правой части существует, и т.д.

Теорема Тейлора. Пусть функция y=f(x) определена в некоторой точке x=a и в некотрой окрестности этой точки функция имеет производные до (n+1)-го порядка, тогда существует точка x=Ɛ, такая, что выполняется формула Тейлора

f(x)=f(a)+f’(a)(x-a) + f’’(a)/2!*(x-a)²+f’’’(a)/3!*(x-a)³+…+f⁽ⁿ⁾(a)/n!*(x-a)ⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(Ɛ)/(n+1)!*(x-a)ⁿ⁺¹, причем точка Ɛ лежит между x и a, т.е. Ɛ=a+0(x-a) и 0<Ɵ<1.

Последнее слагаемое в формуле Тейлора называется остаточным членом в форме Лагранжа.

При a=0 формула Тейлора называется формулой Маклорена:

f(x)=f(0)+f’(0)x+f’’(0)/2!*x²+f’’’(0)/3!*x³+…+f⁽ⁿ⁾(0)/n!*xⁿ+f⁽ⁿ⁺¹⁾(0x)/(n+1)!*x⁽ⁿ⁺¹⁾,

0<Ɵ<1.

Интервалы монотонности

Функция y=f(x) возрастает(убывает) на интервале (a, b), если для ∀x₁, x₂∈(a, b) и x₁<x₂ следует неравенство f(x₁)<f(x₂) (f(x₁)>f(x₂)). Функция y=f(x) не возрастает (не убывает) на интервале (a, b), если для ∀x₁, x₂∈(a, b) и x₁<x₂ следует неравенство f(x₁)≥f(x₂) (f(x₁)≤f(x₂)).

Теорема. Если y=f(x) дифференцируема на (a, b) и f’(x)≥0 (f’(x)≤0) ∀x∈(a, b), то функция y=f(x) не убывает (не возрастает) на данном интервале.

Экстремум функции

Значение f(x₀) называется локальным максимумом (локальным минимумом) функции y=f(x), если при любом достаточно малом δ выполняется условие f(x₀)>f(x) (f(x₀)<f(x)) ∀x∈(x₀- δ) ∪(x₀+ δ). Точка x₀ называется точкой максимума (минимума) функции. Локальные максимумы и минимумы функции называются экстремумами функции, а точки максимума и минимума – точками экстремума.

Теорема (необходимое условие локального экстремума). Если функция y=f(x) имеет в точке x₀ локальный экстремум, то производная f’(x)обращается в 0 или не существует.

Точки, в которых f'(x)=0 или f'(x) не существует, называются критическими. Экстремум в таких точках может быть, а может и не быть.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть x₀ – критическая точка функции y=f(x); если при переходе через точку x₀ слева направо производная f'(x) меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то функция f(x) в точке x₀ имеет локальный максимум (локальный минимум);если же производная f’(x) не меняет знака в δ-окрестности точки x₀, то данная функция не имеет в точке x₀ локального экстремума.

Теорема (второе достаточное условие). Пусть f'(x₀)=0 и f’’(x₀)≠0, тогда функция y=f(x) в точке x₀ имеет экстремум, причем x₀ – точка локального максимума (минимума), если f’’(x₀)<0 (f’’(x₀)<0).