Частные производные. Производная по направлению. Градиент

Частные производные первого порядка. Частной производной от функции z=f(x, y) по независимой переменной x называется конечный предел

lim_∆x→0 f(x+∆x, y)-f(x, y)/∆x=lim_∆x→0 ∆z_x/∆x=∂z/∂x=f’_x(x, y),

вычисленный при постоянном значении y.

Частной производной по y называется конечный предел

lim_∆y→0 f(x, y+∆y)-f(x, y)/∆y= lim_∆y→0 ∆z_y/∆y=∂z/∂y= f’_y(x, y),

вычисленный при постоянной значении x.

Для вычисления частных производных можно воспользоваться обычными правилами и формулами дифференцирования.

Производная по направлению. Пусть z=f(x, y) определена в некоторой окрестности точки M(x, y), пусть l⁰=(cosα, cosβ) – единичный вектор, задающий направление прямой L, проходящей через точку M(x, y). Выберем на прямой L точку M₁(x₁, y₁)= M(x, y)+τ*l⁰. Рассмотрим приращение функции ∆z=z(M₁)-z(M)=f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y) в точке M(x, y).

Предел отношения lim_τ→0 f(x+ τ cosα, y+τ cosβ)-f(x, y)/τ, если он существует, называется производной функции z=f(x, y) в точке M(x, y) по направлению l⁰=(cosα, cosβ) и обозначается ∂z/∂l.

Если функция z=f(x, y) имеет в точке M(x, y) непрерывные частные производные, то в этой точке существует и производная по любому направлению, исходящему из точки M(x, y); вычисляется эта производная по формуле ∂z/∂l=∂z/∂x* cosα+∂z/∂y* cosβ, где cosα и cosβ – направляющие косинусы вектора l⁰.

Градиент. Градиентом функции z=f(x, y) в точке M(x, y) называется вектор с началом в точке M₀, координаты которого равны соответствующим частным производным ∂z/∂x и ∂z/∂y, вычисленным в точке M(x, y).

Градиент обозначается grad z=(∂z/∂x, ∂z/∂y).

Аналогично определяются производная по направлению и градиент для функции трех переменных u=f(x,y,z) в точке M(x, y, z):

∂u/∂l=∂u/∂x*cosα+∂u/∂y*cosβ+∂u/∂z*cosγ;

grad u(M)=( ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z), где cosα, cosβ, cosγ – направляющие косинусы единичного вектора l⁰. Градиент есть вектор, указывающий направление наибольшего возрастания функции u=f(M).

Дифференциал

Полное приращение дифференцируемой в точке M₀(x₀; y₀) функции z=f(x, y) можно представить в виде ∆z=f(x₀+∆x, y₀+∆y)-f(x₀; y₀)=f’_x(x₀; y₀)∆x+f’_y(x₀, y₀)∆y+Ɛ₁(∆x, ∆y)∆x+Ɛ₂((∆x, ∆y)∆y, где Ɛ₁ и Ɛ₂ – бесконечно малые функции при ∆x→0, ∆y→0.

Дифференциалом dz дифференцируемой в точке M функции z=f(M) называется главная, линейная относительно ∆x и ∆y, часть полного приращения этой функции, т.е. dz=f’_x(M)∆x+f’_y(M)∆y. Если принять приращения аргументов ∆x и ∆y равными их дифференциалам, т.е. ∆x=dx, ∆y=dy, то дифференциал функции можно записать следующим образом:

dz=f’_x(M)dx+f’_y(M)dy.

Из определения следует, что dz=∆z, т.е. при достаточно малых ∆x и ∆y полное приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.

Частные производные высших порядков.

Пусть функция z=f(x,y) имеет первые частные производные ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y в точке M(x,y) и в каждой точке некоторой окрестности точки M (x,y). Тогда частные производные от частных производных ∂z(x,y)/∂x и ∂z(x,y)/∂y называются частными производными второго порядка (вторыми частными производными) от функции z=f(x,y) в точке M (x,y). Частные производные второго порядка обозначаются

∂/∂x*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x²=f’’_xx(M); ∂/∂y*(∂z/∂x)= ∂²z/∂x∂y=f''yx(M);

∂/∂x*(∂z/∂y)= ∂²z/∂x∂y=f''xy(M); ∂/∂y*(∂z/∂y)= ∂²z/∂y²=f''yy(M).

Если частные производные первого порядка непрерывны, то значение «смешанной» производной не зависит от порядка дифференцирования, т.е. ∂²z/∂x∂y=∂²z/∂y∂x. Это положение распространяется и на частные производные более высокого порядка.