2.3 Модели систем массового обслуживания.

В зависимости от со­четания приведенных выше характеристик могут рассматривать­ся различные модели систем массового обслуживания.

Здесь мы ознакомимся с несколькими наиболее известными моделями. Все они имеют следующие общие характеристики:

а) пуассоновское распределение вероятностей поступления заявок;

б) стандартное поведение клиентов;

в) правило обслуживания FIFO (первым пришел — первым об­служен);

г) единственная фаза обслуживания.

I. Модель А — модель одноканальной системы массового об­служивания М/М/1 с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания.

Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют одну очередь к единственному пункту обслуживания. Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:

1. Заявки обслуживаются по принципу «первым пришел — пер­вым обслужен» (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.

2. Появления заявок являются независимыми событиями, од­нако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, не­изменно.

3. Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.

4. Время обслуживания описывается экспоненциальным рас­пределением вероятностей.

5. Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.

Пусть  — число заявок в единицу времени;

 — число клиентов, обслуживаемых в единицу времени;

п — число заявок в системе.

Тогда система массового обслуживания описывается уравнени­ями, приведенными ниже.

Формулы для описания системы М/М/1:

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время обслуживания одного клиента в системе (время ожидания плюс время обслуживания);

— среднее число клиентов в очереди;

— среднее время ожидания клиента в очереди;

— характеристика загруженности системы (доля време­ни, в течение которого система занята обслуживанием);

— вероятность отсутствия заявок в системе;

— вероятность того, что в системе находится бо­лее чем k заявок.

II. Модель В — многоканальная система обслуживания M/M/S. В многоканальной системе для обслуживания открыты два ка­нала или более. Предполагается, что клиенты ожидают в общей очереди и обращаются в первый освободившийся канал обслужи­вания.

Пример такой многоканальной однофазовой системы можно увидеть во многих банках: из общей очереди клиенты обращают­ся в первое освободившееся окошко для обслуживания.

В многоканальной системе поток заявок подчиняется пуассоновскому закону, а время обслуживания — экспоненциальному. Приходящий первым обслуживается первым, и все каналы обслу­живания работают в одинаковом темпе. Формулы, описывающие модель В, достаточно сложны для использования. Для расчета параметров многоканальной системы обслуживания удобно ис­пользовать соответствующее программное обеспечение.

Для многоканальной системы с неограниченной очередью должно выполняться условие < 1, где r — параметр загрузки системы (среднее число занятых каналов), п — минимальное ко­личество каналов, при котором очередь не будет расти до беско­нечности. В противном случае предельные вероятности существо­вать не могут.

Формулы для описания системы M/M/S:

— вероятность того, что система свободна;

— вероятность того, что в системе находится п заявок;

— вероятность того, что заявка окажется в очереди;

— среднее число занятых каналов;

— среднее число заявок в очереди;

— среднее число заявок в системе;

— время нахождения заявки в очереди;

— время нахождения заявки в системе.

III. Модель С— модель с постоянным временем обслуживания M/D/1.

Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели С с постоянным темпом обслуживания значения величин L_q и W_q вдвое меньше, чем соответствующие значения в модели А, име­ющей переменный темп обслуживания.

Формулы, описывающие модель С:

— средняя длина очереди;

— среднее время ожидания в очереди;

— среднее число клиентов в системе;

— среднее время ожидания в системе.

IV. Модель D — модель с ограниченной популяцией.

Если число потенциальных клиентов системы обслуживания ограничено, мы имеем дело со специальной моделью. Такая за­дача может возникнуть, например, если речь идет об обслужива­нии оборудования фабрики, имеющей пять станков.

Особенность этой модели по сравнению с тремя рассмотрен­ными ранее в том, что существует взаимозависимость между длиной очереди и темпом поступления заявок.

V. Модель Е — модель с ограниченной очередью. Модель от­личается от предыдущих тем, что число мест в очереди ограни­чено. В этом случае заявка, прибывшая в систему, когда все ка­налы и места в очереди заняты, покидает систему необслуженной, т.е. получает отказ.

Как частный случай модели с ограниченной очередью можно рассматривать модель с отказами, если количество мест в очере­ди сократить до нуля.

В качестве примера рассмотрим задачу по утилизации отходов.

Компания «Утиль» собирает и утилизирует алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром λ = 8 автомобилей в час. Если новый компактор будет использоваться, то амортизационные затраты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли использовать компактор?

Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют

В системе с компактором время ожидания в очереди при  = 8 автомобилей в час и  = 12 автомобилей в час будет равно

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят

Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.[12, c. 65]

Сравнительная характеристика различных моделей систем массового обслуживания представлена в (Приложение Б)