15.2. Переходные процессы в простейшей rc-цепи

При анализе подключения RC-цепи к источнику напряжения u₀(t) (рис. 15.1, а), согласно сказанному выше, из уравнений, составленных для цепи после коммутации, —  

Рис. 15.1

при замкнутом ключе

исключим ток и сведем их к одному уравнению относительно переменной состояния u_C:

Общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид суммы частного решения неоднородного и общего решения однородного уравнений

Для нахождения второго из них составим характеристическое уравнение RC + 1 = 0, корнем которого является = – 1/RC. Общее решение однородного уравнения — свободная составляющая напряжения u"_C — соответствует цепи с исключенным источником

где A — пока неопределенная константа;  = RC — величина, имеющая размерность времени, характеризующая скорость протекания переходного процесса, так называемая постоянная времени.

Характер частного решения — вынужденной составляющей u'_C — определяется видом воздействующего на цепь напряжения источника u₀(t). В простейших случаях  подключения цепи к постоянному источнику u₀(t) = U₀ = const и замыкания конденсатора на резистор, когда u₀(t) = 0, составляющую u'_C можно найти, руководствуясь следующими соображениями. Вид общего решения u_C = u'_C + A e^–t/ показывает, что u'_C представляет собой значение напряжения на конденсаторе, которое будет достигнуто в установившемся режиме после окончания переходного процесса. Действительно, при t  u_C(t)   u'_C, так как свободная составляющая u"_C с течением времени затухает. Рассмотрим перечисленные случаи.

Короткое замыкание в R-C цепи

     В схеме на рис. 8.5 в результате коммутации рубильник замыкается, и образуется замкнутый на себя R-C контур.        До коммутации емкость полностью зарядилась до напряжения, равного ЭДС источника питания, то есть u_c(0-) = E. После коммутации емкость полностью разряжается, следовательно, принужденный ток в R-C цепи и принужденное напряжение на конденсаторе равны нулю.

     В цепи существует только свободный ток за счет напряжения заряженного конденсатора.      Запишем для R-C контура уравнение по второму закону Кирхгофа                   .                  Рис. 8.5

     Ток через конденсатор        .

     Получим дифференциальное уравнение

.              (8.3)

     Решение этого уравнения   .

     Подставим значение свободного напряжения и производной от напряжения

       в уравнение (8.3).

.

     Уравнение называется характеристическим.

      - корень характеристического уравнения;

      - постоянная времени переходного процесса;

     

     

     

     

     

     Переходный ток и переходное напряжение на конденсаторе по показательному закону уменьшаются до нуля (рис. 8.6).

Подключение R-C цепи к источнику постоянной ЭДС

       Полагаем, что до коммутации конденсатор не заряжен, напряжение на нем u_c(0-) = 0.       В результате коммутации рубильник замыкается, и конденсатор полностью заряжается (рис. 8.7).        Принужденное напряжение на емкости равно ЭДС источника питания u_cпр= E.

       Переходное напряжение

.

       В момент коммутации .

     Постоянная интегрирования       .      В соответствии со вторым законом коммутации       .       .                  Рис. 8.7

       Переходное напряжение

.

       Переходный ток

.