Лекція 8. Тема: Поле.

План.

1. Означення поля, приклади полів.

2. Властивості полів.

3. Характеристика поля.

4. Підполе.

5. Поле часток.

Короткий зміст лекції.

Означення 1. Комутативне кільце Р називається полем, якщо в ньому є як найменше один елемент, відмінний від нуля і виконується операція ділення, крім ділення на нуль, тобто для a,b P, а 0 існує в Р елемент q, що aq = b. Елемент q називають часткою елементів a і b записують .

Властивості полів:

1. В кожному полі Р існує, і при тому тільки одна одиниця.

2. В кожному полі Р для будь-якого елемента а, відмінного від нуля, існує, і при тому тільки один обернений елемент а^-1.

3. Будь-яке поле Р не має дільників нуля.

4. В кожному полір множина відмінних від нуля елементів Р^* є абелевою групою відносно множення (мультиплікативна група поля Р).

Означення 2. Характеристикою поля Р називають число нуль, якщо ne = 0 тільки при n = 0; характеристикою поля Р називають натуральне число р, якщо ре = 0; немає такого натурального числа к, менше р, що ке = 0.

Усі числові поля мають характеристику нуль.

Теорема 1. Якщо поле Р має характеристику р, то число р – просте.

Теорема 2. Якщо Р – поле характеристики нуль, то будь-яке ціле кратне будь-якого відмінного від нуля елемента а цього поля не дорівнює нулю: na 0.

Означення 3. Підмножина Р^’ поля Р називається підполем цього поля, якщо вона сама є полем відносно алгебраїчних операцій, визначених в полі Р. Поле Р в цьому випадку називається розширенням поля Р^’.

Критерій поля: Для того щоб підмножина Р^’ поля Р, в якій є хоч би один відмінний від нуля елемент, була підполем, необхідно і достатньо, щоб сума, різниця, добуток і частка (якщо вона існує) будь-яких двох елементів підмножини Р містилась в підмножині Р^’.

Означення 4. Підполе, що складається із нуля і одиниці поля Р, називається тривіальним підполем поля Р.

Означення 5. Підполе, відмінне від тривіального, називається власним підполем.

Означення 6. Поле називається простим, якщо в ньому немає власних підполів.

Теорема 3. Перетин будь-якої множини підполів поля Р є підполем в полі Р.

Теорема 4. Будь-яке підполе Р^’ поля Р, що містить ненульове підкільце R, містить усі дроби , де a R, b R, b 0 (тобто усі елементи х із Р такі, що ).

Теорема 5. Нехай R – ненульове підкільце поля Р. Підмножина S в P, що складається із елементів вигляду , де a R, b R, b 0, є полем.

Теорема 6. Якщо R – підкільце поля Р, то найменше поле в Р, що містить R, складається із дробів , a R, b R, b 0. Дроби і рівні тоді і тільки тоді, коли ad = cb.

Теорема 7. Будь-яка область цілісності R з одиницею є підкільцем деякого поля Р.

Найменше підполе Р, що містить кільце R, співпадає з Р. Тому Р називають полем відношень кільця R.

Теорема 8. Якщо R – кільце головних ідеалів і р – простий елемент цього кільця, то фактор-кільце є поле.

Будь-яке поле містить просте підполе, ізоморфне або полю раціональних чисел Q, або полю лишків Z_p кільця цілих чисел за модулем р, р – просте число.

Число елементів скінченого поля Р дорівнює рⁿ, де р – характеристика поля, а n – розмірність поля Р як векторного простору над його простим підполем.

При заданих числах p і n усі поля з рⁿ елементів ізоморфні.

Контрольні запитання для самоперевірки.

1. Дайте означення поля.

2. Доведіть найпростіші властивості поля.

3. Дайте означення характеристики поля.

4. Доведіть, що характеристикою будь-якого поля є нуль або просте число.

5. Доведіть, що найменше підполе будь-якого поля характеристики нуль ізоморфне полю раціональних чисел.

6. Що таке поле відношень? Які кільця мають поле відношень?

7. Яке поле називають простим?

8. Довести, що в полі немає ідеалів, відмінних від нульового і одиничного.

9. Довести, що при будь-якому ізоморфізмі числових полів, підполе раціональних чисел відображається тотожньо.

10. Довести, що будь-яка скінченна область цілісності є полем.

Література: [2], гл. 4, 4(5,6); [1], гл. 10, 45.