Методичні вказівки

В розділі “Групи” продовжується вивчення основ теорії груп. Спочатку слід нагадати всі основні відомі приклади груп: адитивні групи цілих чисел; цілих чисел, кратних деякому n; раціональних, дійсних, комплексних чисел; мультиплікативні групи, відмінних від нуля раціональних, дійсних, комплексних чисел; мультиплікативну групу коренів n-го степеня з одиниці; адитивну групу матриць одного розміру над одним і тим же полем; симетричну групу підстановок n-го степеня, тощо. На всьому цьому матеріалі легко буде ілюструвати критерії підгрупи, а також побудову суміжних класів групи за підгрупою або для ілюстрації, особливо геометричної, властивостей суміжних класів. Найбільш вдалими можна вважати побудови суміжних класів: адитивної групи комплексних чисел за її підгрупою дійсних чисел, а також мультиплікативної групи відмінних від нуля комплексних чисел за її підгрупою комплексних чисел з одиничним модулем.

Серед наслідків теореми Лагранжа слід особливо виділити твердження про циклічність групи простого порядку.

Для обгрунтування поняття нормального дільника слід розглянути лівосторонні і правосторонні суміжні класи симетричної групи підстановок третього степеня за будь-якої її підгрупою другого порядку. Співпадання довільних правосторонніх і лівосторонніх суміжних класів якраз і слід взяти за перше означення нормального дільника (на мові суміжних класів). Далі вводиться поняття спряжених елементів та спряжених підгруп і на основі цього дається друге і третє означення нормального дільника. Необхідність введення різних означень нормального дільника слід обгрунтувати порівняльним аналізом виконання перевірки нормальності в групі невироджених матриць її підгрупи матриць із визначником, рівним одиниці (тут найдоцільніше використати означення нормального дільника на мові спряжених елементів). При наведенні прикладів нетривіальних фактор-груп доцільного скористатись знаннями студентів з математичного аналізу і виконати побудову суміжних класів групи всіх дійсних функцій f_a,b(x)=ax+b, a 0 за її підгрупою функцій виду f_1,0(x)=x+с, a,b,c R.

Серед інших найбільш традиційних прикладів слід виділити такі фактор-групи адитивної групи цілих чисел за її підгрупою цілих чисел, що діляться на s•k, k,s Z (зокрема, при k=1); циклічної групи порядку k◦s за її підгрупою порядку k; мультиплікативної групи коренів k◦s-го порядку за її підгрупою k-го порядку, k, s N; нескінченної циклічної групи, породженої елементом а за її підгрупою, породженою елементом а^k (k N) і т.д.

Означення, властивості та приклади гомоморфізму та ізоморфізму двох груп слід продовжити розглядом двох теорем про ізоморфізм довільних двох нескінченних груп та про ізоморфізм довільних двох скінчених груп одного порядку, введенням в розгляд ядра гомоморфізму груп, доведенням його нормальності в першій групі.

При доведенні теореми про гомоморфізми двох груп краще скористатися критерієм переростання гомоморфізму двох груп в їх ізоморфізм.

Найбільш простими ілюстративними прикладами теореми про гомоморфізми груп є приклади відображення адитивної групи цілих чисел на мультиплікативну групу коренів n-го степеня з одиниці (спочатку слід розглянути випадок n=2).

Серед наслідків з теореми про гомоморфізми груп особливо слід виділити твердження про неможливість гомоморфного відображення скінченої групи порядку t на групу порядку n у випадку, коли t не ділиться на n.

Розділ “Кільця” можна починати з розгляду ідеалів лише в комутативному кільці з одиницею. При вивченні гомоморфізму та ізоморфізму кілець, фактор-кілець та ін., доцільно суттєво використовувати відповідний матеріал з теорії груп. Поняття подільності можна розглядати також лише в комутативному кільці з одиницею. Питання про факторіальність кільця головних ідеалів можна розглядати паралельно з основною теоремою арифметики, лише вказати на різницю в їх доведенні. Аналогічно зробити і при розгляді властивостей простих елементів. Слід довести, що кожне евклідове кільце є кільцем головних ідеалів. Бажано довести безпосередньо, що кільце цілих чисел є кільцем головних ідеалів. Це можна зробити безпосередньо зі студентами на практичних заняттях.

Вивчення розділу “Многочлени від однієї змінної” доцільно розпочинати побудовою кільця многочленів від однієї змінної над областю цілісності. Зауважимо, що коли кільце многочленів розглядати як трансцендентне розширення області цілісності, то теорему про існування простого трансцендентного розширення краще дати студентам на самостійне вивчення, але контроль вивченого провести у вигляді співбесіди. Далі в даному розділі вивчення кільця многочленів L[x], L – область цілісності проводиться за тією ж схемою, що і вивчення кільця цілих чисел, підкреслюючи при цьому, що властивості цього кільця суттєво залежать від області цілісності L. Так, зокрема, якщо L – кільце без одиниці, то далеко не всі властивості подільності виконуються. Якщо L – не поле, то в кільці L[x] не виконується теорема про ділення з остачею і тому L[x] не є евклідовим кільцем, тощо.

Розділ “Многочлени від кількох змінних” краще починати побудовою кільця L[x_1, x₂, …, x_m]. Його можна будувати як кратне розширення області цілісності L. Бажано довести, що кільце L[x_1, x₂, …, x_n], n 2, L – поле, не є кільцем головних ідеалів. Особливу увагу звернути на вивчення симетричних многочленів та їх застосування.

Починаючи вивчення розділу “Многолени над числовими полями”, слід зауважити, що він містить матеріал, який раніше був основним і який тісно пов’язаний із програмою школи.

На самостійне опрацювання можна дати дослідження рівняння 3-го степеня за дискримінантом, а також ознайомлення з різними способами розв’язування рівняння 4-го степеня. Вивчення питання про відокремлення дійсних коренів многочлена можна дати оглядово.

Вивчення розділу “Алгебраїчні числа” можна здійснювати так:

1. Показати, що крім полів Q, R, C існує як завгодно багато інших числових полів і навчити студентів їх будувати.

2. Розкрити повний зміст поняття “Алгебраїчне розширення поля” та ознайомити студентів з поняттям “розв’язність рівнянь в квадратних радикалах”.